如图，一位运动员在距篮下4.5米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最高度3.5米，篮筐中心到地面距离为3.05米，建立坐标

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如图，一位运动员在距篮下4.5米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最高度3.5米，篮筐中心到地面距离为3.05米，建立坐标系如图．该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，他跳离地面的高度为0.2米，问这次投篮是否命中，为什么？若不命中，他应向前（或向后）移动几米才能使球准确命中？

答案

∵篮球运行的路线是抛物线，依题意该抛物线最高点坐标为（0，3.5）
∴设该篮球运行的路线对应的函数解析式为y=ax²+3.5，
依题意该抛物线经过（-2.5，2.25），
代入抛物线可得：6.25a+3.5=2.25，
解得：a=-

，
则该抛物线解析式为y=-

x2+3.5，
当x=2时，y=-

×4+3.5=2.7≠3.05
故该运动员这次跳投不能命中．
令y=-

(x+h)2+3.5，
当x=2，y=3.05时，-

(2+h)2+3.5=3.05，
解得h₁=-0.5，h₂=-3.5，
∵|h₂|=3.5＞2，不合题意，舍去，
∴h=-0.5，即y=-

(x-0.5)2+3.5，
∴应向前移动0.5米才能投中．

举一反三

已知抛物线的函数关系式为：y=x²+2（a-1）x+a²-2a（a＜0），
（1）若点P（-1，8）在此抛物线上．
①求a的值；
②设抛物线的顶点为A，与y轴的交点为B，O为坐标原点，∠ABO=α，求sinα的值；
（2）设此抛物线与x轴交于点C（x₁，0）、D（x₂，0），x₁，x₂满足a（x₁+x₂）+2x₁x₂＜3，且抛物线的对称轴在直线x=2的右侧，求a的取值范围．

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用“♥”定义一种新运算：对于任意实数m，n和抛物线y=-ax²，当y=ax²♥（m，n）后都可以得到y=a（x-m）²+n．例如：当y=2x²♥（3，4）后都可以得到y=2（x-3）²+4．若函数y=x²♥（1，n）得到的函数如图所示，则n=______．

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取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）所示；
第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图（2）所示；
第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图（3）所示；利用展开图（4）所示．

探究：
（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论．
（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．
（3）如图（5），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC边上的点A′处，x轴垂直平分DA，直线EF的表达式为y=kx-k （k＜0）
①问：EF与抛物线y=-

x2 有几个公共点？
②当EF与抛物线只有一个公共点时，设A′（x，y），求

的值．

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如图1，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D，AD与BC相交于E点，已知：A（-2，-6），C（1，-3），一抛物线经过A，E，C三点．
（1）求点E的坐标及此抛物线的表达式；
（2）如图2，如果AB位置不变，将DC向右平移k（k＞0）个单位，求△AEC的面积S关于k的函数表达式；
（3）在第（2）问中，是否存在k的值，使AD⊥BC？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

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如图，已知二次函数y=ax²+bx的图象开口向下，与x轴的一个交点为B，顶点A在直线y=x上，O为坐标原点．
（1）证明：△AOB是等腰直角三角形；
（2）若△AOB的外接圆C的半径为1，求该二次函数的解析式；
（3）对题（2）中所求出的二次函数，在其图象上是否存在点P（点P与点A不重合），使得△POC是以PC为腰的等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

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