如图,抛物线y=(x+1)2+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-3);(1)求抛物线的对称轴及k的值;(2)抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得|P

如图,抛物线y=(x+1)2+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-3);(1)求抛物线的对称轴及k的值;(2)抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得|P

题型:不详难度:来源:
如图,抛物线y=(x+1)2+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-3);
(1)求抛物线的对称轴及k的值;
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得|PB-PC|的值最大?若存在,求出点P的坐标;
(3)如果点M是抛物线在第三象限的一动点;当M点运动到何处时,M点到AC的距离最大?求出此时的最大距离及M的坐标.
答案
(1)抛物线y=(x+1)2+k的对称轴为直线x=-1,
把点C(0,-3)代入抛物线得,(0+1)2+k=-3,
解得k=-4;

(2)令y=0,则(x+1)2-4=0,
解得x1=-3,x2=1,
∴点A(-3,0),B(1,0),
由三角形的三边性质,|PB-PC|<BC,
∴当点P、C、B在同一直线上时,|PB-PC|的值最大,
此时,设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),





k+b=0
b=-3

解得





k=3
b=-3

∴直线BC的解析式为y=3x-3,
当x=-1时,y=3×(-1)-3=-6,
∴抛物线对称轴上存在点P(-1,-6),使得|PB-PC|的值最大;

(3)设直线AC的解析式为y=mx+n(m≠0),





-3m+n=0
n=-3

解得





m=-1
n=-3

∴直线AC的解析式为y=-x-3,
过点M的直线与直线AC平行且与抛物线只有一个交点时距离最大,
此时,过点M的直线解析式设为y=-x+b,
联立





y=(x+1)2-4
y=-x+b

消掉y得,x2+3x-3-b=0,
△=32-4×1×(-3-b)=0,
解得b=-
21
4

过点M的直线解析式为,y=-x-
21
4

此时,x1=x2=-
3
2

y1=y2=-
15
4

∴点M的坐标为(-
3
2
,-
15
4
),
设过点M的直线与x轴的交点为D,
则由-x-
21
4
=0,得x=-
21
4

∴AD=-3-(-
21
4
)=
9
4

∵A(-3,0),C(0,-3),
∴OA=OC,
∴△AOC是等腰直角三角形,
∴∠OAC=45°,
∵MDAC,
∴∠ODM=∠OAC=45°,
∴直线MD与AC之间的距离=
9
4
×


2
2
=
9


2
8

即M点到AC的距离最大值为
9


2
8
举一反三
如图,等腰梯形的周长为60,底角为30°,腰长为x,面积为y,试写出y与x的函数表达式.
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已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0,3),与x轴交于(1,0)(5,0)两点,若一个动点P自OA的中点M出发,先到达x轴上的某点E,再到达抛物线的对称轴上某点F,最后运动到点A,则使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标分别是:E______,F______.
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抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于A、B两点,交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为直线x=-1,其中B(1,0),C(0,-3).
(Ⅰ)求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的解析式;
(Ⅱ)设抛物线的顶点为D,求△ABD的面积;
(Ⅲ)求使y≥-3的x的取值范围.
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已知二次函数99象过点A(5,-1),B(1,1),C(-1,2),求此二次函数9解析式.
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如图,已知直线y=x+8交x轴于A点,交y轴于B点,过A、0两点的抛物线y=ax2+bx(a<O)的顶点C在直线AB上,以C为圆心,CA的长为半径作⊙C.
(1)求抛物线的对称轴、顶点坐标及解析式;
(2)将⊙C沿x轴翻折后,得到⊙C′,求证:直线AC是⊙C′的切线;
(3)若M点是⊙C的优弧
ABO
(不与0、A重合)上的一个动点,P是抛物线上的点,且∠POA=∠AM0,求满足条件的P点的坐标.
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