已知:如图,抛物线y=-33x2+mx+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,A点坐标为(-1,0)(1)求m的值和点B的坐标;(2)过A、B、C的三点的⊙M

已知:如图,抛物线y=-33x2+mx+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,A点坐标为(-1,0)(1)求m的值和点B的坐标;(2)过A、B、C的三点的⊙M

题型:不详难度:来源:
已知:如图,抛物线y=-


3
3
x2+mx+


3
与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,A点坐标为(-1,0)
(1)求m的值和点B的坐标;
(2)过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D,设P为弧CBD上的动点P(P不与C、D重合),连接AP交y轴于点H,问是否存在一个常数k,始终满足AH•AP=k?如果存在,请求出常数k;如果不存在,请说明理由;
(3)连接DM并延长交BC于N,交⊙M于点E,过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G,试探究BC与FG的位置关系,并求直线FG的解析式.
答案
(1)将A(-1,0)代入解析式y=-


3
3
x2+mx+


3

解得m=
2


3
3

令y=0,即-


3
3
x2+
2


3
3
x+


3
=0

解得x1=-1,x2=3,
因此B点坐标为(3,0);

(2)如图,假设存在常数k,满足AH•AP=k
连接CP,由垂径定理可知,
∴∠P=∠ACH(或利用∠P=∠ABC=∠ACO),
又∵∠CAH=∠PAC,
∴△ACH△APC,
AC
AH
=
AP
AC

∴即AC2=AH•AP,
在Rt△AOC中,AC2=AO2+OC2=12+(


3
2=4,
∴AH•AP=k=4;
(3)由A(-1,0),B(3,0)C(0,


3

根据圆的对称性,易知:⊙M半径为2,
M( 1,0)D(0,-


3
),
在Rt△DOM中,∠DOM=90°,OM=1,OD=


3

∴∠MDO=30°,
易得∠MFG=30°,在Rt△DGE中,∠GDE=30°,DE=4,
∴DG=
8
3


3
,OG=
5
3


3

∴G点的坐标为(0,
5
3


3

在Rt△GOF中∠OFG=30°,OG=
5
3


3

∴OF=5,
∴F点的坐标为(5,0)
∴直线FG的解析式为y=-


3
3
x+
5
3


3
举一反三
已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3)、B(4,3)、C(1,0)、
(1)填空:抛物线的对称轴为直线x=______,抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为______;
(2)求该抛物线的解析式.
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已知,如图,在直角坐标系中,矩形OABC的对角线AC所在直线解析式为y=-


3
3
x+1.
(1)在x轴上存在这样的点M,使AMB为等腰三角形,求出所有符合要求的点M的坐标;
(2)动点P从点C开始在线段CO上以每秒


3
个单位长度的速度向点O移动,同时,动点Q从点O开始在线段OA上以每秒1个单位长度的速度向点A移动.设P、Q移动的时间为t秒.
①是否存在这样的时刻2,使△OPQ与△BCP相似,并说明理由;
②设△BPQ的面积为S,求S与t间的函数关系式,并求出t为何值时,S有最小值.
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如图,二次函数y=
1
2
x2+bx-
3
2
的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.
(1)请直接写出点D的坐标:______;
(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值,求出这个最大值;
(3)是否存在这样的点P,使△PED是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由.
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已知抛物线y=-ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A(-1,0),与y轴的正半轴交于点C.
(1)直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)当点C在以AB为直径的⊙P上时,求抛物线的解析式;
(3)坐标平面内是否存在点M,使得以点M和(2)中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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用长8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框,使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是(  )
A.
64
25
m2
B.
4
3
m2
C.
8
3
m2
D.4m2

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