在梯形ABCD中,AD∥BC,BA⊥AC,∠B=45°,AD=2,BC=6,以BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点A在y轴上.(1)求过A、D、

在梯形ABCD中,AD∥BC,BA⊥AC,∠B=45°,AD=2,BC=6,以BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点A在y轴上.(1)求过A、D、

题型:不详难度:来源:
在梯形ABCD中,ADBC,BA⊥AC,∠B=45°,AD=2,BC=6,以BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点A在y轴上.
(1)求过A、D、C三点的抛物线的解析式.
(2)求△ADC的外接圆的圆心M的坐标,并求⊙M的半径.
(3)E为抛物线对称轴上一点,F为y轴上一点,求当ED+EC+FD+FC最小时,EF的长.
(4)设Q为射线CB上任意一点,点P为对称轴左侧抛物线上任意一点,问是否存在这样的点P、Q,使得以P、Q、C为顶点的△与△ADC相似?若存在,直接写出点P、Q的坐标;若不存在,则说明理由.
答案
(1)由题意知C(3,0)、A(0,3).
如图1,过D作x轴垂线,由矩形性质得D(2,3).
由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为(-1,0).
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3).
将(0,3)代入得a=-1,所以y=-x2+2x+3.

(2)由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点.
由等腰直角三角形性质得OM平分∠AOC,即yOM=x,
∴M(1,1).
连MC得MC=


5
,即半径为


5


(3)如图2,由对称性可知:当ED+EC+FD+FC最小时,E为对称轴与AC交点,F为BD与y轴交点,
∵∠B=45°,∠AOB=90°,
∴AO=BO=3,故B点坐标为:(-3,0),
再利用D(2,3),代入y=ax+b,得:





2a+b=3
-3a+b=0

解得:





a=
3
5
b=
9
5

故BD直线解析式为:y=
3
5
x+
9
5

当x=0,y=
9
5
,根据对称轴为直线x=1,则y=2,
故F(0,
9
5
)、E(1,2),
EF=


ET2+FT2
=


12+(
1
5
)
2
=


26
5


(4)可得△ADC中,AD=2,AC=3


2
,DC=


10

假设存在,显然∠QCP<90°,则∠QCP=45°或∠QCP=∠CAD.
如图3,当∠QCP=45°时,OR=OC=3,
则R点坐标为(0,-3),将C,R代入y=ax+b得出:





b=-3
3a+b=0

解得:





a=1
b=-3

这时直线CP的解析式为y=x-3,同理可得另一解析式为:y=-x+3.
当直线CP的解析式为y=x-3时,
则x-3=-x2+2x+3,
解得:x1=-2,x2=3,
可求得P(-2,-5),
故PC=


52+52
=5


2

设CQ=x,则
2
3


2
=
x
5


2
2
3


2
=
5


2
x

解得:x=
10
3
或x=15.
∴Q(-
1
3
,0)或(-12,0).
当y=-x+3即P与A重合时,CQ=y,则
AD
AC
=
QC
AC

2
3


2
=
y
3


2
,或
2
3


2
=
3


2
y

解得CQ=2或9,
故Q(1,0)或(-6,0).
如图4,当∠QCP=∠ACD时,设CP交y轴于H,连接ED,则ED⊥AC,
∴DE=


2
,EC=2


2

易证:△CDE△CHQ,
所以
HO


2
=
3
2


2

∴HO=
3
2

可求HC的解析式为y=
1
2
x-
3
2

联解





y=
1
2
x-
3
2
y=-x2+2x+3

得P(-
3
2
,-
9
4
),PC=
9
4


5

设CQ=x,知


10
x
=
3


2
9
4


5


10
9
4


5
=
3


2
x

∴x=
15
4
或x=
27
4

∴Q(-
3
4
,0)或(-
15
4
,0).
同理当H在y轴正半轴上时,HC的解析式为y=-
1
2
x+
3
2

∴P’(-
1
2
7
4
),
∴PC=
7
4


5



10
CQ
=
3


2
7
4


5


10
7
4


5
=
3


2
CQ

∴CQ=
35
12
21
4
,所以Q(
1
12
,0)或(-
9
4
,0).
综上所述,P1(-2,-5)、Q1(-
1
3
,0)或(-12,0);P2(0,3)、Q2(1,0)或(-6,0);P3(-
3
2
,-
9
4
)、Q3(-
3
4
,0)或(-
15
4
,0);P4(-
1
2
7
4
)、Q4
1
12
,0)或(-
9
4
,0).
举一反三
如图,一条抛物线与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),其顶点P在线段MN上移动.若点M、N的坐标分别为(-1,-2)、(1,-2),点B的横坐标的最大值为3,则点A的横坐标的最小值为(  )
A.-3B.-1C.1D.3

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如图,在平面直角坐标系中,以点A(3,0)为圆心,以5为半径的圆与x轴相交于B、C,与y轴相交于点D、E.若抛物线y=
1
4
x2+bx+c
经过C、D两点,求抛物线的解析式,并判断点B是否在抛物线上.
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某商店将进价为100元的某商品按120元的价格出售,可卖出300个;若商店在120元的基础上每涨价1元,就要少卖10个,而每降价1元,就可多卖30个.
(1)求所获利润y(元)与售价x(元)之间的函数关系式;
(2)为获利最大,商店应将价格定为多少元?
(3)为了让利顾客,在利润相同的情况下,请为商店选择正确的出售方式,并求出此时的售价.
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如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2


3
,0),⊙P刚好与x轴相切于点A,⊙P交y的正半轴于点B,点C,且BC=4.
(1)求半径PA的长;
(2)求证:四边形CAPB为菱形;
(3)有一开口向下的抛物线过O,A两点,当它的顶点不在直线AB的上方时,求函数表达式的二次项系数a的取值范围.
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某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售,一天可售出100件,经调查这种商品每降低1元,其销量可增加10件.
①求商场原来一天可获利润多少元?
②设后来该商品每件降价x元,一天可获利润y元.
1)若经营该商品一天要获利2160元,则每件商品应降价多少元?
2)当售价为多少时,获利最大并求最大值?
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