(1)由题意知C(3,0)、A(0,3). 如图1,过D作x轴垂线,由矩形性质得D(2,3). 由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为(-1,0). 设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3). 将(0,3)代入得a=-1,所以y=-x2+2x+3.
(2)由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点. 由等腰直角三角形性质得OM平分∠AOC,即yOM=x, ∴M(1,1). 连MC得MC=,即半径为.
(3)如图2,由对称性可知:当ED+EC+FD+FC最小时,E为对称轴与AC交点,F为BD与y轴交点, ∵∠B=45°,∠AOB=90°, ∴AO=BO=3,故B点坐标为:(-3,0), 再利用D(2,3),代入y=ax+b,得: , 解得:, 故BD直线解析式为:y=x+, 当x=0,y=,根据对称轴为直线x=1,则y=2, 故F(0,)、E(1,2), EF===.
(4)可得△ADC中,AD=2,AC=3,DC=. 假设存在,显然∠QCP<90°,则∠QCP=45°或∠QCP=∠CAD. 如图3,当∠QCP=45°时,OR=OC=3, 则R点坐标为(0,-3),将C,R代入y=ax+b得出: , 解得:, 这时直线CP的解析式为y=x-3,同理可得另一解析式为:y=-x+3. 当直线CP的解析式为y=x-3时, 则x-3=-x2+2x+3, 解得:x1=-2,x2=3, 可求得P(-2,-5), 故PC==5. 设CQ=x,则=或=, 解得:x=或x=15. ∴Q(-,0)或(-12,0). 当y=-x+3即P与A重合时,CQ=y,则=, 即=,或=, 解得CQ=2或9, 故Q(1,0)或(-6,0). 如图4,当∠QCP=∠ACD时,设CP交y轴于H,连接ED,则ED⊥AC, ∴DE=,EC=2, 易证:△CDE∽△CHQ, 所以=, ∴HO=. 可求HC的解析式为y=x-. 联解, 得P(-,-),PC=. 设CQ=x,知=或=, ∴x=或x=, ∴Q(-,0)或(-,0). 同理当H在y轴正半轴上时,HC的解析式为y=-x+. ∴P’(-,), ∴PC=. ∴=或=, ∴CQ=或,所以Q(,0)或(-,0). 综上所述,P1(-2,-5)、Q1(-,0)或(-12,0);P2(0,3)、Q2(1,0)或(-6,0);P3(-,-)、Q3(-,0)或(-,0);P4(-,)、Q4(,0)或(-,0).
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