如图已知二次函数图象的顶点为原点,直线y=12x+4的图象与该二次函数的图象交于A点(8,8),直线与x轴的交点为C,与y轴的交点为B.(1)求这个二次函数的解

如图已知二次函数图象的顶点为原点,直线y=12x+4的图象与该二次函数的图象交于A点(8,8),直线与x轴的交点为C,与y轴的交点为B.(1)求这个二次函数的解

题型:不详难度:来源:
如图已知二次函数图象的顶点为原点,直线y=
1
2
x+4
的图象与该二次函数的图象交于A点(8,8),直线与x轴的交点为C,与y轴的交点为B.
(1)求这个二次函数的解析式与B点坐标;
(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A,B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点,与x轴交于点E.设线段PD的长为h,点P的横坐标为t,求h与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,在线段AB上是否存在点P,使得以点P、D、B为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)设此二次函数的解析式为y=ax2
∵A点(8,8)在二次函数y=ax2上,
∴8=a×82
∴a=
1
8

∴y=
1
8
x2
∵直线y=
1
2
x+4
与y轴的交点为B,
∴B点坐标为:(0,4).

(2)P点在y=
1
2
x+4
上且横坐标为t,
∴P(t,
1
2
t+4),
∵PD⊥x轴于E,
∴D(t,
1
8
t2),E(t,0),
∵PD=h,
1
2
t+4-
1
8
x2=h,
∴h=-
1
8
x2+
1
2
t+4,
∵P与AB不重合且在AB上,
∴0<t<8.
(3)存在,
(1)当BD⊥PE时,
△PBD△BCO,
OB
PD
=
OC
BD

4
h
=
8
t

∴h=
1
2
t,
∴-
1
8
x2+
1
2
t+4=
1
2
t,
x=4


2
或x=-4


2
(舍去)
∴P点的纵坐标是:
1
2
×4


2
+4=2


2
+4,
∴此时P点的坐标是;(4


2
,2


2
+4)

(2)当DB⊥PC时,
△PBD△BCO,
过点B作BF⊥PD,
则F(t,4),
∴PF=
1
2
t+4-4=
1
2
t,
BF=t,
根据勾股定理得:
PB=


t2+(
1
2
t)2
=


5
2
t,
BC=


OB2+OC2
=


42+82
=4


5

假设△PBD△BOC,
则有
PB
OB
=
PD
BC



5
2
t
4
=
1
2
t+4-
1
8
t2
4


5

解得:t1=-8+4


6
,t2=-8-4


6
(不合题意舍去),
1
2
t+4=
1
2
×(-8+4


6
)+4=2


6

∴P(-8+4


6
,2


6
).
举一反三
已知:函数y=-
1
4
x2+x+a的图象的最高点在x轴上.
(1)求a;
(2)如图所示,设二次函数y=-
1
4
x2+x+a图象与y轴的交点为A,顶点为B,P为图象上的一点,若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B,求P点的坐标;
(3)在(2)中,若圆与x轴另一交点C关于直线PB的对称点为M,试探索点M是否在抛物线y=-
1
4
x2+x+a上?若在抛物线上,求出M点的坐标;若不在,请说明理由.
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已知二次函数y=
1
2
x2+bx+c的图象经过点A(-3,6),并且与x轴交于点B(-1,0)和点C,顶点为P.
(1)求这个二次函数解析式;
(2)设D为线段OC上的点,满足∠DPC=∠BAC,求点D的坐标.
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已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12)两点,且对称轴为直线x=4.设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.
(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;
(2)如图1,在直线y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外),以每秒


2
个单位长度的速度由点P向点O运动,过点M作直线MNx轴,交PB于点N.将△PMN沿直线MN对折,得到△P1MN.在动点M的运动过程中,设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S,运动时间为t秒.求S关于t的函数关系式.
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已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+
3
2
在x=0和x=2时的函数值相等.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A(-3,m),求m和k的值;
(3)设二次函数的图象与x轴交于点B,C(点B在点C的左侧),将二次函数的图象在点B,C间的部分(含点B和点C)向左平移n(n>0)个单位后得到的图象记为G,同时将(2)中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位.请结合图象回答:当平移后的直线与图象G有公共点时,求n的取值范围.
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已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于两点A(1,0),B(3,0)与y轴相交于点C(0,3),
(l)求抛物线的函数关系式;
(2)若点D(4,m)是抛物线y=ax2+bx+c上一点,请求出m的值,并求出此时△ABD的面积.
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