设抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两个不同的点A(-l,0)、B(4,0),与y轴交于点C(0,2).(1)求抛物线的解析式:(2)问抛物线上是否存在一点M

设抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两个不同的点A(-l,0)、B(4,0),与y轴交于点C(0,2).(1)求抛物线的解析式:(2)问抛物线上是否存在一点M

题型:不详难度:来源:
设抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两个不同的点A(-l,0)、B(4,0),与y轴交于点C(0,2).
(1)求抛物线的解析式:
(2)问抛物线上是否存在一点M,使得S△ABM=2S△ABC?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)已知点D(1,n)在抛物线上,过点A的直线y=-x-1交抛物线于另一点E.
①求tan∠ABD的值:
②若点P在x轴上,以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似,求点P的坐标.
答案
(1)把三点分别代入后求解可得:
a=-
1
2
,b=
3
2
,c=2;
代入后得此函数解析式为:y=-
1
2
x2+
3
2
x+2


(2)假设存在这样的点M,使得S△ABM=2S△ABC
假设点M的坐标为:(xM,yM),
所以有:
1
2
•AB•h=2•
1
2
•AB•2,
其中h是三角形ABM AB 边上的高等于yM的绝对值,解得h=4,
二次函数解析式y=-
1
2
x2+
3
2
x+2
的最大值是3
1
8
<4,
故x轴的上方不存在这样的M点,
所以有yM=-4,即有y=-
1
2
x2+
3
2
x+2
=-4,
解得:x=
3+


57
2
或者
3-


57
2

即M点的坐标为(
3+


57
2
,-4
)或者(
3-


57
2
,-4
);

(3)①D(1,n)代入原函数解析式得:n=3
所以D点坐标为(1,3),
过点D作垂线DF⊥x轴,可得tan∠ABD=
3
4-1
=1

②由y=-x-1和y=-
1
2
x2+
3
2
x+2
;联立求解得:
x=-1 y=0 或者 x=6 y=-7;
所以点E的坐标为(6,-7),
过点E作EH⊥x轴于H,则H(6,0),
所以AH=EH=7,∠EAH=45°,又因为tan∠ABD=
3
4-1
=1
,故∠DBF=45°
所以∠EAH=∠DBF,且有∠DBH=135°
90°<∠EBA<135°,则点P只能在点B的左侧,即有以下两种情况:
1)△DBP△EAB,则有:
BP
AB
=
BD
AE

所以BP=
AB•BD
AE
=
15
7
,故OP=4-
15
7
=
13
7

所以点P坐标为(
13
7
,0

2)△DBP△BAE,则有
BP
AE
=
BD
AB

所以BP=
AE•BD
AB
=
42
5

OP=
42
5
-4=
22
5

所以点P的坐标为(-
22
5
,0
),
综上所述点P坐标为(
13
7
,0
)或者(-
22
5
,0
).
举一反三
已知,开口向上的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-6,0),另一个交点是B,与y轴的交点是C,且抛物线的顶点的纵坐标是-2,△AOC的面积为6


3

(1)求点B、C的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)M点从点A出发向点C以每秒


3
2
个单位匀速运动.同时点P以每秒2个单位的速度从A点出发,沿折线AB、BC向点C匀速运动,在运动的过程中,设△AMP的面积为y,运动的时间为x,求y与x的函数关系式及y的最大值;
(4)在运动的过程中,过点M作MNx轴交BC边于N,试问,在x轴上是否存在点Q,使△MNQ为直角三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,已知直线y=-
1
2
x+1
交坐标轴于A、B点,以线段AB为边向上作正方形ABCD,过点A、D、C的抛物线与直线的另一个交点为E.
(1)求点C、D的坐标
(2)求抛物线的解析式
(3)若抛物线与正方形沿射线AB下滑,直至点C落在x轴上时停止,求抛物线上C、E两点间的抛物线所扫过的面积.
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已知抛物线y=ax2-4ax+c与y轴交于点A(0,3),点B是抛物线上的点,且满足ABx轴,点C是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的对称轴及B点坐标;
(2)若抛物线经过点(-2,0),求抛物线的表达式;
(3)对(2)中的抛物线,点D在线段AB上,若以点A、C、D为顶点的三角形与△AOC相似,试求点D的坐标.
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如图,用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子,若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形,设小正方形的边长为xcm.
(1)底面的长AB=______cm,宽BC=______cm(用含x的代数式表示)
(2)当做成盒子的底面积为300cm2时,求该盒子的容积.
(3)该盒子的侧面积S是否存在最大的情况?若存在,求出x的值及最大值是多少?若不存在,说明理由.
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如图,已知平面直角坐标系中三点A(2,0),B(0,2),P(x,0)(x<0),连接BP,过P点作PC⊥PB交过点A的直线a于点C(2,y)
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当x取最大整数时,求BC与PA的交点Q的坐标.
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