如图，二次函数y=-mx2+4m的顶点坐标为（0，2），矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内．（1）求二

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如图，二次函数y=-mx²+4m的顶点坐标为（0，2），矩形ABCD的顶点B、C在

x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设点A的坐标为（x，y），试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论．
（4）求出当x为何值时P有最大值？

答案

（1）∵二次函数y=-mx²+4m的顶点坐标为（0，2），
∴4m=2，
即m=

，所以次抛物线的解析式为：y=-

x²+2．

（2）∵A点在x轴的负方向上坐标为（x，y），四边形ABCD为矩形，BC在x轴上，
∴AD∥x轴，
又由抛物线关于y轴对称，
所以D、C点关于y轴分别与A、B对称．
所以AD的长为-2x，AB长为y，
所以周长p=2y-4x=2（-

x²+2）-4x=-（x+2）²+8．
∵A在x轴的负半轴上，
∴x＜0，
∵四边形ABCD为矩形，
∴y＞0，
即x＞-2．
所以p=-（x+2）²+8，其中-2＜x＜0．

（3）不存在，
证明：假设存在这样的p，即：
9=-（x+2）²+8，
解此方程得：x无解，所以不存在这样的p．

（4）由p=-（x+2）²+8，且-2＜x＜0．
故p没有最大值．

举一反三

某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备那出一定的资金做广告．根据经验，每年投入广告费为x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y=-

．如果把利润看作是销售额减去成本费和广告费，试求当年利润为16万元时，广告费x为多少万元？

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已知二次函数的图象经过点（0，-3），且顶点坐标为（-1，-4）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积．

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如图，圆M与x轴相交于A，B两点，其坐标分别为A（-3，0），B（1，0），直径CD垂

直于x轴于N，直线CE切圆M于C，直线FG切圆M于F，交CE于G，已知点G的横坐标为3，
（1）若抛物线y=-x²-2x+m经过A，B，D三点，求m的值及点D的坐标；
（2）求直线DF的解析式；
（3）是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由．

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附加题：如图1，菱形纸片ABCD中，AB=1，∠B=60°，将纸片翻折（如图2），使D点落在AD所在直线上，并可在直线AD上运动，折痕为EF．当

＜DE＜1时，设AB与DC相交于点G（如图）．
（1）线段AD与DG相等吗？△ADG与△BCG的面积之和是否随着DE的变化而变化？为什么？
（2）设AD=x，重叠部分（图3中阴影部分）的面积为y，求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围以及面积y的取值范围．

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某隧道根据地质结构要求其横截面要建成抛物线拱形，计划路面水平宽度AB=12m，根据施工需要，选取AB的中点D为支撑点，搭一个正三角形支架ADC，C点在抛物线上（如图所示），过C竖一根立柱CO⊥AB于O．
（1）求立柱CO的长度；
（2）以O点为坐标原点，AB所在的直线为横坐标轴，自己画出平面直角坐标系，写出A、B、C三点

的坐标（坐标轴上的一个长度单位为1m）；
（3）求经过A、B、C三点的抛物线方程；
（4）请帮助施工技术员计算该抛物线拱形的高．

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