如图,圆M与x轴相交于A,B两点,其坐标分别为A(-3,0),B(1,0),直径CD垂直于x轴于N,直线CE切圆M于C,直线FG切圆M于F,交CE于G,已知点G

如图,圆M与x轴相交于A,B两点,其坐标分别为A(-3,0),B(1,0),直径CD垂直于x轴于N,直线CE切圆M于C,直线FG切圆M于F,交CE于G,已知点G

题型:不详难度:来源:
如图,圆M与x轴相交于A,B两点,其坐标分别为A(-3,0),B(1,0),直径CD垂直于x轴于N,直线CE切圆M于C,直线FG切圆M于F,交CE于G,已知点G的横坐标为3,
(1)若抛物线y=-x2-2x+m经过A,B,D三点,求m的值及点D的坐标;
(2)求直线DF的解析式;
(3)是否存在过点G的直线,使它与(1)中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4?若存在,请求出满足条件的直线的解析式;若不存在,请说明理由.
答案
(1)∵抛物线y=-x2-2x+m过点A,B两点,
∴-3×1=-m,
∴抛物线为y=-x2-2x+3,
又∵抛物线过点D,由圆的对称性知点D为抛物线的顶点,
∴D点坐标为(-1,4).

(2)由题意知AB=4,
∵CD⊥x轴,
∴NA=NB=2,
∴ON=1,
由相交弦定理得NA•NB=ND•NC,
∴NC×4=2×2,NC=1,
∴C的坐标为(-1,-1),
设直线DF交CE于P,连接CF,得∠CFP=90°,
∵CG,FG为圆M的切线,
∴FG=GC,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠FPC,
∴FG=GP,
∴GC=GP,
可得CP=8,
∴P点的坐标为(7,-1);
设直线DF的解析式为y=kx+b(k≠0),





-k+b=4
7k+b=-1

解得





k=-
5
8
b=
27
8

∴直线DF的解析式为y=-
5
8
x+
27
8


(3)假设存在过G的直线y=k1x+b1
则3k1+b1=-1,
∴b1=-3k1-1,
解方程组





y=k1x-3k1-1
y=-x2-2x+3

得x2+(2+k1)x-3k1-4=0,
由题意得-2-k1=4,
∴k1=-6,
∴△=-40<0,
∴方程无实数根,
∴方程组无实数解;
∴满足条件的直线不存在.
举一反三
附加题:如图1,菱形纸片ABCD中,AB=1,∠B=60°,将纸片翻折(如图2),使D点落在AD所在直线上,并可在直线AD上运动,折痕为EF.当
1
2
<DE<1时,设AB与DC相交于点G(如图).
(1)线段AD与DG相等吗?△ADG与△BCG的面积之和是否随着DE的变化而变化?为什么?
(2)设AD=x,重叠部分(图3中阴影部分)的面积为y,求出y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围以及面积y的取值范围.
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某隧道根据地质结构要求其横截面要建成抛物线拱形,计划路面水平宽度AB=12m,根据施工需要,选取AB的中点D为支撑点,搭一个正三角形支架ADC,C点在抛物线上(如图所示),过C竖一根立柱CO⊥AB于O.
(1)求立柱CO的长度;
(2)以O点为坐标原点,AB所在的直线为横坐标轴,自己画出平面直角坐标系,写出A、B、C三点的坐标(坐标轴上的一个长度单位为1m);
(3)求经过A、B、C三点的抛物线方程;
(4)请帮助施工技术员计算该抛物线拱形的高.
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有一座抛物线形拱桥,在正常水位AB时,水面AB宽24m,拱顶距离水面4m.以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若水位上升3m就达到警戒线CD的位置,求这时水面CD的宽度.
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已知抛物线y=ax2经过点(1,5),当y=15时,求x的值.
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如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成长方形零件PQMN,使长方形PQMN的边QM在BC上,其余两个顶点P,N分别在AB,AC上.
(Ⅰ)求这个长方形零件PQMN面积S的最大值;
(Ⅱ)在这个长方形零件PQMN面积最大时,能否将余下的材料△APN,△BPQ,△NMC剪下再拼成(不计接缝用料及损耗)与长方形PQMN大小一样的长方形?若能,试给出一种拼法;若不能,试说明理由.
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