如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,-2).(1)求此抛物线的解析式;(2)若D点在此抛物线上,且AD

如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,-2).(1)求此抛物线的解析式;(2)若D点在此抛物线上,且AD

题型:不详难度:来源:
如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,-2).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若D点在此抛物线上,且ADCB,在x轴上是否存在点E,使得以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,问在x轴下方的抛物线上,是否存在点P使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,-2),





a-b+c=0
16a+4b+c=0
c=-2

解得:





a=
1
2
b=-
3
2
c=-2

∴抛物线的解析式为y=
1
2
x2-
3
2
x-2;

(2)设D点坐标为(x,y),E点坐标为(a,0)
∵ADCB,
∴两直线的斜率相等,
∴kAD=kBC
y+1
x
=
0-(-2)
4-0
=
1
2

∴y+1=
1
2
x,
又∵点D在抛物线上,
∴y=
1
2
x2-
3
2
x-2,
联立两式解得D点的坐标为(5,3),
连接AC,AC=


5
,BC=2


5
,AB=5,
∵AC2+BC2=AB2
∴△ACB是直角三角形,
①若Rt△ACBRtEDA,如图1所示,
∵ADAC,
∴∠DAB=∠ABC,
∵Rt△ACBRtEDA,
AC
DE
=
AB
AD
=
BC
AE



5
3
=
5
3


5
=
2


5
a+1

当a=5时,等式成立,
∴当E点坐标为(5,0)时,Rt△ACBRtAED;
②若Rt△ACBRtADE,如图2所示,
同理可知
AB
AE
=
AC
AD
,即
2


5
3


5
=
5
a+1

解得a=
13
2

∴AE=
15
2
,根据勾股定理求出DE=
3


5
2

检验:
AC
DE
=
AB
AE
=
2
3

∴存在E点坐标(
13
2
,0)使以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,
综上这样的点有两个,分别是(5,0),(
13
2
,0);

(3)由(1)(2)可知:AB=5,D点坐标为(5,3),C点坐标为(0,-2),
假设存在P点(x,y)使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等,
S四边形ACBD=S△ABD+S△ACB=
1
2
×5×3+
1
2
×5×2=
25
2

S△APD=
1
2
×AD×h=
25
2
,解得h=
5


5
3

∴P到直线AD的距离为
5


5
3

直线AD的解析式为y=
1
2
x+
1
2

P点到直线AD的距离d=
|x-2y+1|


5
=
5


5
3

又知y=
1
2
x2-
3
2
x-2,
解得x=
6±2


39
3

∴这样的P点存在,坐标为(
6+2


39
3
51-3


39
9
)、(
6-2


39
3
51-21


39
9
).
举一反三
已知抛物线y=-x2+2mx-m2-m+3
(1)证明抛物线顶点一定在直线y=-x+3上;
(2)若抛物线与x轴交于M、N两点,当OM•ON=3,且OM≠ON时,求抛物线的解析式;
(3)若(2)中所求抛物线顶点为C,与y轴交点在原点上方,抛物线的对称轴与x轴交于点B,直线y=-x+3与x轴交于点A.点P为抛物线对称轴上一动点,过点P作PD⊥AC,垂足D在线段AC上.试问:是否存在点P,使S△PAD=
1
4
S△ABC?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,直线l经过点M(3,0),且平行于y轴,与抛物线y=ax2交于点N,若S△OMN=9,则a的值是(  )
A.
2
3
B.-
2
3
C.
1
3
D.-
1
3

题型:不详难度:| 查看答案
如图,已知抛物线的方程C1:y=-
1
m
(x+2)(x-m)(m>0)与x轴相交于点B、C,与y轴相交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,求△BCE的面积;
(3)在(1)条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使BH+EH最小,并求出点H的坐标;
(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在直角坐标系中,点C(


3
,0),点D(0,1),CD的中垂线交CD于点E,交y轴于点B,点P从点C出发沿CO方向以每秒2


3
个单位的速度运动,同时点Q从原点O出发沿OD方向以每秒1个单位的速度向点D运动,当点Q到达点D时,点P,Q同时停止运动,设运动的时间为秒.
(1)求出点B的坐标;
(2)当t为何值时,△POQ与△COD相似?
(3)当点P在x轴负半轴上时,记四边形PBEQ的面积为S,求S关于t的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(4)在点P、Q的运动过程中,将△POQ绕点O旋转180°,点P的对应点P′,点Q的对应点Q′,当线段P′Q′与线段BE有公共点时,抛物线y=ax2+1经过P′Q′的中点,此时的抛物线与x轴正半轴交于点M.由已知,直接写出:①a的取值范围为______;②点M移动的平均速度是______.
题型:不详难度:| 查看答案
函数y=-x2+ax+b的图象如图所示.
(1)求a,b的值;
(2)设点P是图象与x轴的另一个交点,求点P的坐标;
(3)求图象的顶点坐标及最大值.
题型:不详难度:| 查看答案
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