(1)∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,-2), ∴, 解得:, ∴抛物线的解析式为y=x2-x-2;
(2)设D点坐标为(x,y),E点坐标为(a,0) ∵AD∥CB, ∴两直线的斜率相等, ∴kAD=kBC, ∴==, ∴y+1=x, 又∵点D在抛物线上, ∴y=x2-x-2, 联立两式解得D点的坐标为(5,3), 连接AC,AC=,BC=2,AB=5, ∵AC2+BC2=AB2, ∴△ACB是直角三角形, ①若Rt△ACB∽RtEDA,如图1所示, ∵AD∥AC, ∴∠DAB=∠ABC, ∵Rt△ACB∽RtEDA, ∴==, ∴==, 当a=5时,等式成立, ∴当E点坐标为(5,0)时,Rt△ACB∽RtAED; ②若Rt△ACB∽RtADE,如图2所示, 同理可知=,即=, 解得a=, ∴AE=,根据勾股定理求出DE=, 检验:==, ∴存在E点坐标(,0)使以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似, 综上这样的点有两个,分别是(5,0),(,0);
(3)由(1)(2)可知:AB=5,D点坐标为(5,3),C点坐标为(0,-2), 假设存在P点(x,y)使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等, S四边形ACBD=S△ABD+S△ACB=×5×3+×5×2=, S△APD=×AD×h=,解得h=, ∴P到直线AD的距离为, 直线AD的解析式为y=x+, P点到直线AD的距离d==, 又知y=x2-x-2, 解得x= ∴这样的P点存在,坐标为(,)、(,). |