一座抛物线拱桥架在一条河流上，这座拱桥下的水面离桥孔顶部3m时，水面宽6m，当水位上升1m时，水面宽多少m（结果保留根号）．

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答案

设函数解析式为y=ax²，
由题意得，x=3时，y=-3
所以-3=9a，
即a=-

，
即y=-

x²，
当y=-2时，x=

，即此时水面宽度为2

．

举一反三

矩形ABCD的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系中，使AB在x轴的正

半轴上，点A在点B的左侧，另两个顶点都在第一象限，且直线y=

x-1经过这两个顶点中的一个．
（1）求A、B、C、D四点坐标；
（2）以AB为直径作⊙M，记过A、B两点的抛物线y=ax²+bx+c的顶点为P．
①若P点在⊙M和矩形内，求a的取值范围；
②过点C作CF切⊙M于E，交AD于F，当PF∥AB时，求抛物线的函数解析式．

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如图所示的平面直角坐标系中，有一条抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3）．
（1）求二次函数y=ax²+bx+c的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到A、C两点距离之和最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，A在B的左侧，A坐标为（-1，0）与y轴交于点C（0，3）△ABC的面积为6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，点N为x轴上一点，当以M，N，B为顶点的三角形与△ABC相似时，请你求出BN的长度；
（3）设抛物线的顶点为D在线段BC上方的抛物线上是否存在点P使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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数学课上，老师提出：
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x²的图象于点C和D，直

线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的横坐标分别为x_C、x_D，点H的纵坐标为y_H．
同学发现两个结论：
①S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3 ②数值相等关系：x_C•x_D=-y_H
（1）请你验证结论①和结论②成立；
（2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；
（3）进一步研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，又将条件“y=x²”改为“y=ax²（a＞0）”，其他条件不变，那么x_C、x_D与y_H有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）

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如图：一次函数y=-x+m的图象与二次函数y=ax²+bx-4的图象交于x轴上一点A，且交y轴于点B，点A的坐标为（-2，0）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设二次函数y=ax²+bx-4的对称轴为直线x=n（n＜0），n是方程2x²-3x-2=0的一个根，求二次函数的解析式；
（3）在（2）条件下，设二次函数交y轴于点D，在x轴上有一点C，使以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似．试求出C点的坐标．

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