(1)(方法一)由题意:设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3) ∴y=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a, ∴点C(0,-3a),D(1,-4a), (方法二)由题意:, 解得. ∴y=ax2-2ax-3a(下同方法一);
(2)(方法一)过点D作DE⊥y轴于点E,易证△DEC∽△COB ∴=∴= ∴a2=1. ∵a<0, ∴a=-1. 故抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3. (方法二)过点D作DE⊥y轴于点E,过M作MG⊥x轴于点G, 设⊙M交x轴于另一点H,交y轴于另一点F,可先证四边形OHDE为矩形,则OH=DE=1,再证OF=CE=-a, 由OH•OB=OF•OC得:(-a)(-3a)=1×3, ∴a2=1;(下同法一)
(3)符合条件的点P存在,共3个 ①若∠BPD=90°,P点与C点重合,则P1(0,3)(P1表示第一个P点,下同) ②若∠DBP=90°,过点P2作P2R⊥x轴于点R, 设点P2(p,-p2+2p+3) 由△BP2R∽△DBH得,=, 即=, 解得p=-或p=3(舍去) 故P2(-,-) ③若∠BDP=90°,设DP3的延长线交y轴于点N,可证△EDN∽△HDB, 求得EN=, ∴N(0,). 求得DN的解析式为y=x+, 求抛物线与直线DN的交点得P3(,), 综上所述:符合条件的点P为(0,3)、(-,-)、(,). |