(1)易知A(-2,0),B(4,0),C(0,8). 设抛物线的函数表达式为y=a(x+2)(x-4). 将C(0,8)代入,得a=-1. ∴过A、B、C三点的抛物线的函数表达式为:y=-x2+2x+8. y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9, ∴顶点为D(1,9).
(2)如图1,假设存在满足条件的点P,依题意,设P(2,t). 由C(0,8),D(1,9)得直线CD的函数表达式为:y=x+8. 设直线CD交x轴于点E,则E(-8,0). ∴CO=8=OE,∴∠DEO=45°. 设OB的中垂线交CD于H,交x轴于点G. ∴在Rt△HPF中,∠FHP=45°=∠HPF. 点P到CD的距离PF=|10-t|. 又PO==. ∵PF=PO, ∴=|10-t|. 化简,得t2+20t-92=0, 解得t=-10±8. ∴存在点P1(2,-10+8),P2(2,-10-8)满足条件.
(3)如图2,过点N作直线NQ∥x轴交CD于点Q.设N(k,-k2+2k+8). ∵直线CD的函数表达式为y=x+8, ∴Q(-k2+2k,-k2+2k+8). ∴QN=|-k2+2k-k|=-k2+k. S△CND=S△NQD+S△NQC =NQ•|yD-yQ|+NQ•|yQ-yC| =(-k2+k)•|9-(-k2+2k+8)|+(-k2+k)•|-k2+2k+8-8| =(-k2+k)(9+k2-2k-8-k2+2k) =(-k2+k). 而S四边形NCOD=S△CND+S△COD =(-k2+k)+CO•|xD| =(-k2+k)+× 8×1 =-k2+k+4 =-(k-)2+. ∴当k=时,四边形面积的最大为, 此时N(k,-k2+2k+8)点坐标为:(,).
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