如图,直线y=x+3与坐标轴分别交于A,B两点,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,B,顶点为C,连接CB并延长交x轴于点E,点D与点B关于抛物线的对称轴MN
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如图,直线y=x+3与坐标轴分别交于A,B两点,抛物线y=ax2+bx-3a 经过点A,B,顶点为C,连接CB并延长交x轴于点E,点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称. (1)求抛物线的解析式及顶点C的坐标; (2)求证:四边形ABCD是直角梯形. |
答案
(1)由y=x+3与坐标轴分别交于A、B两点,易得A点坐标(-3,0)、 B点坐标(0,3) ∵抛物线y=ax2+bx-3a经过A、B两点 ∴9a-3b-3a=0a=-1-3a=3得:b=-2 ∴抛物线解析式为:y=-x2-2x+3 ∴顶点C的坐标为(-1,4)
(2)证明:∵B、D关于MN对称,C(-1,4),B(0,3) ∴D(-2,3) ∵B(0,3),A(-3,0) ∴OA=OB, ∵C(-1,4),B(0,3) ∴直线CB的解析式为:y=-x+3, ∴E(3,0), ∴OB=OE, ∴∠BEO=∠OBE=45°, 又∠AOB=90° ∴∠ABO=∠BAO=45° ∴∠ABE=90°, ∵B、D关于MN对称 ∴BD⊥MN 又∵MN⊥X轴 ∴BD∥X轴 ∴∠DBA=∠BAO=45° ∴∠DBO=∠DBA+∠ABO=45°+45°=90° ∴∠ABC=180°-∠ABE=180°-∠DBO=90° ∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=45° ∵CM⊥BD ∴∠MCB=45° ∵B,D关于MN对称 ∴∠CDM=∠CBD=45°,CD∥AB 又∵AD与BC不平行 ∴四边形ABCD是梯形 ∵∠ABC=90° ∴四边形ABCD是直角梯形. |
举一反三
如图,四边形OABC是矩形,OA=4,OC=8,将矩形OABC沿直线AC折叠,使点B落在D处,AD交OC于E. (1)求OE的长; (2)求过O,D,C三点抛物线的解析式; (3)若F为过O,D,C三点抛物线的顶点,一动点P从点A出发,沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,当运动时间t(秒)为何值时,直线PF把△FAC分成面积之比为1:3的两部分.
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养鸡专业户小李要建一个露天养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙足够长),其他边用 竹篱笆围成,竹篱笆的长为40m,读九年级的儿子小军为他设计了如下方案:如图,把养鸡场围成等腰梯形ABCD,且∠ABC=120°. (1)当AB为何值时,所围的面积是132m2; (2)当AB为何值时,所围的面积最大? |
如图,已知直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合). (1)求抛物线的解析式; (2)求△ABC的面积; (3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使△ABM为等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,求出点M的坐标.
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用长为24米的篱笆,一面利用10米的墙,围成一个中间隔有一道篱笆 的长方形花园.设花园的宽AB为x米,面积为y米2 (1)求y与x之间的函数关系式 (2)当宽AB为多少是,围成面积最大? |
如图,矩形ABCD的长AB=5cm,点O是AB的中点,OP⊥AB,两半圆的直径分别为AO与OB.抛物线y=ax2经过C、D两点,则图中阴影部分的面积是______cm2.
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