(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点, ∴其表达式可以写成y=ax2+bx. ∵直线y=kx+4与抛物线相交于B、C两点,把两点的坐标代入y=kx+4,得: , 解得:, ∴直线是:y=-x+4, 点B(1,3),C(2,2)代入二次函数的表达式,得: , 解得:, ∴抛物线的表达式为:y=-2x2+5x.
(2)∵y=-x+4,令x=0,y=4; 令y=0,x=4, ∴A(0,4),D(4,0). ∴AD==4.而OC=2, ∴OC=AD. ∴C是Rt△AOD的外心.
(3)通过分析知道,P为顶点时,S△OPN面积最大. 此时,P(,), 又∵方程-2x2+5x=0的两根是x1=0,x2=,即ON=. ∴OP==. ∴sinα==×=,此时△PON有最大面积(底是相同的).
(4)存在. 理由:过点P作PE⊥x轴于N点, 设点P的坐标为(x,-2x2+5x), ∴S△OCN=ON•PD=××(-2x2+5x)=(-2x2+5x), ∵S△OCN=ON×2×=ON=, 又∵△PON的面积等于△OCN面积的, ∴(-2x2+5x)=×, 解得:x1=,x2=, ∴当x=时,y=, 当x=时,y=, ∴点P的坐标为(,)或(,). |