如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(经过原点)与x轴相交于N点,直线y=kx+4与坐标轴分别相交于A、D两点,与抛物线相交于B(1,m)和C(2,2)两点.(

如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(经过原点)与x轴相交于N点,直线y=kx+4与坐标轴分别相交于A、D两点,与抛物线相交于B(1,m)和C(2,2)两点.(

题型:不详难度:来源:
如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(经过原点)与x轴相交于N点,直线y=kx+4与坐标轴分别相交于A、D两点,与抛物线相交于B(1,m)和C(2,2)两点.
(1)求直线与抛物线的表达式;
(2)求证:C点是△AOD的外心;
(3)若(1)中的抛物线,在x轴上方的部分,有一动点P(x,y),设∠PON=α.当sinα为何值时,△PON的面积有最大值?
(4)若P点保持(3)中运动路线,是否存在△PON,使得其面积等于△OCN面积的
9
16
?若存在,求出动点P的位置;若不存在,请说出理由.
答案
(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点,
∴其表达式可以写成y=ax2+bx.
∵直线y=kx+4与抛物线相交于B、C两点,把两点的坐标代入y=kx+4,得:





2=2k+4
m=k+4

解得:





k=-1
m=3

∴直线是:y=-x+4,
点B(1,3),C(2,2)代入二次函数的表达式,得:





3=a+b
2=4a+2b

解得:





a=-2
b=5

∴抛物线的表达式为:y=-2x2+5x.

(2)∵y=-x+4,令x=0,y=4;
令y=0,x=4,
∴A(0,4),D(4,0).
∴AD=


42+42
=4


2
.而OC=2


2

∴OC=
1
2
AD.
∴C是Rt△AOD的外心.

(3)通过分析知道,P为顶点时,S△OPN面积最大.
此时,P(
5
4
25
8
),
又∵方程-2x2+5x=0的两根是x1=0,x2=
5
2
,即ON=
5
2

∴OP=


(
5
4
)
2
+(
25
8
)
2
=
5


29
8

∴sinα=
25
8
5


29
8
=
25
8
×
8
5


29
=
5
29


29
,此时△PON有最大面积(底是相同的).

(4)存在.
理由:过点P作PE⊥x轴于N点,
设点P的坐标为(x,-2x2+5x),
∴S△OCN=
1
2
ON•PD=
1
2
×
5
2
×(-2x2+5x)=
5
4
(-2x2+5x),
∵S△OCN=ON×2×
1
2
=ON=
5
2

又∵△PON的面积等于△OCN面积的
9
16

5
4
(-2x2+5x)=
5
2
×
9
16

解得:x1=
1
4
,x2=
9
4

∴当x=
1
4
时,y=
9
8

当x=
9
4
时,y=
9
8

∴点P的坐标为(
1
4
9
8
)或(
9
4
9
8
).
举一反三
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于点A(-1,0)、B(4,0).点M、N在x轴上,点N在点M右侧,MN=2.以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN,∠CMN=90°.设点M的横坐标为m.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式.
(2)求点C在这条抛物线上时m的值.
(3)将线段CN绕点N逆时针旋转90°后,得到对应线段DN.
①当点D在这条抛物线的对称轴上时,求点D的坐标.
②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE,当点E在这条抛物线的对称轴上时,直接写出所有符合条件的m值.
(参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(-
b
2a
4ac-b2
4a
))
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如图,在直角坐标系中,二次函数的顶点为C(4,-3),且在x轴上截得的线段AB=6,则二次函数的表达式为______;若抛物线与y轴交于点D,则四边形DACB的面积是______.
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如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,点A在x轴负半轴,点B在x轴正半轴,与y轴交于点C,且tan∠ACO=
1
2
,CO=BO,AB=3,求这条抛物线的函数解析式.
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在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的关系解析式;
(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;
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如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过点(1,-5)和(-2,4)
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)设此抛物线与直线y=x相交于点A,B(点B在点A的右侧),平行于y轴的直线x=m(0<m<


5
+1)与抛物线交于点M,与直线y=x交于点N,交x轴于点P,求线段MN的长(用含m的代数式表示);
(3)在条件(2)的情况下,连接OM、BM,是否存在m的值,使△BOM的面积S最大?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由.
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