善于不断改进学习方法的小迪发现,对解题进行回顾反思,学习效果更好.某一天小迪有20分钟时间可用于学习.假设小迪用于解题的时间x(单位:分钟)与学习收益量y的关系
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善于不断改进学习方法的小迪发现,对解题进行回顾反思,学习效果更好.某一天小迪有20分钟时间可用于学习.假设小迪用于解题的时间x(单位:分钟)与学习收益量y的关系如图1所示,用于回顾反思的时间x(单位:分钟)与学习收益y的关系如图2所示(其中OA是抛物线的一部分,A为抛物线的顶点),且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间. (1)求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式; (2)求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数关系式; (3)问小迪如何分配解题和回顾反思的时间,才能使这20分钟的学习收益总量最 大? |
答案
(1)由图1,设y=kx(k≠0).当x=1时,y=2, 解得k=2 ∴y=2x(0≤x≤20)
(2)中的收益量y与反思时间x的函数关系必须分段: 由图2,当0≤x<4时,设y=a(x-4)2+16(a≠0), 由已知,当x=0时,y=0 ∴0=16a+16, ∴a=-1 ∴y=-(x-4)2+16即y=-x2+8x 当4≤x≤10时,y=16. 因此,当0≤x<4时,y=-(x-4)2+16; 当4≤x≤10时,y=16.
(3)设小迪用于回顾反思的时间为x(0≤x≤10)分钟,学习收益总量为y, 则她用于解题的时间为(20-x)分钟. 当0≤x<4时,y=-x2+8x+2(20-x)=-(x-3)2+49 ∵a=-1<0 ∴函数有最大值, 当x=3时,有最大值49; 当4≤x≤10时,y=16+2(20-x)=56-2x,y随x的增大而减小, 因此当x=4时,有最大值48. 综合以上,当x=3时,有最大值49,此时20-x=17. 即小迪用于回顾反思的时间为3分钟,用于解题的时间为17分钟时,学习的总收益量最大. |
举一反三
如图,在半径为r的半圆⊙O中,半径OA⊥直径BC,点E、F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合,点E不与A、B重合. (1)求证:S四边形AEOF=r2; (2)设AE=x,S△OEF=y,写出y与x之间的函数关系式及自变量x的范围; (3)当S△OEF=S△ABC时,求点E、F分别在AB、AC上的位置及EF的长.
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已知二次函数y=x2-2mx+m2-4的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),且与y轴交于点D. (1)当点D在y轴正半轴时,是否存在实数m,使得△BOD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由; (2)当m=-1时,将函数y=x2-2mx+m2-4的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象Ω.当直线y=x+b与图象Ω有两个公共点时,求实数b的取值范围. |
已知二次函数的顶点C的横坐标为1,一次函数y=kx+2的图象与二次函数的图象交于A、B两点,且A点在y轴上,以C为圆心,CA为半径的⊙C与x轴相切, (1)求二次函数的解析式; (2)若B点的横坐标为3,过抛物线顶点且平行于x轴的直线为l,判断以AB为直径的圆与直线l的位置关系; (3)在满足(2)的条件下,把二次函数的图象向右平移7个单位,向下平移t个单位(t>2)的图象与x轴交于E、F两点,当t为何值时,过B、E、F三点的圆的面积最小? |
“假日旅乐园”中一种新型水上滑梯如图,其中线段PA表示距离水面(x轴)高度为5m的平台(点P在y轴上).滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分,滑道BCD可以看作是二次函数图象的一部分,两滑道的连接点B为抛物线BCD的顶点,且点B到水面的距离BE=2m,点B到y轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C时,与水面的距离CG=m,与点B的水平距离CF=2m. (1)求反比例函数的解析式及其自变量的取值范围. (2)求二次函数的解析式及其自变量的取值范围. (3)小明从点B滑水面上点D处时,试求他所滑过的水平距离d.
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某地计划开凿一条单向行驶(从正中通过)的隧道,其截面是抛物线拱形ACB,而且能通过最宽3米,最高3.5米的厢式货车.按规定,机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5米.为设计这条能使上述厢式货车恰好安全通过的隧道,在图纸上以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,求抛物线拱形的表达式、隧道的跨度AB和拱高OC. |
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