如图,在半径为r的半圆⊙O中,半径OA⊥直径BC,点E、F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合,点E不与A、B重合.(1)求证:S四边
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如图,在半径为r的半圆⊙O中,半径OA⊥直径BC,点E、F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合,点E不与A、B重合.(1)求证:S四边
题型:不详
难度:
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如图,在半径为r的半圆⊙O中,半径OA⊥直径BC,点E、F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合,点E不与A、B重合.
(1)求证:S
四边形AEOF
=
1
2
r
2
;
(2)设AE=x,S
△OEF
=y,写出y与x之间的函数关系式及自变量x的范围;
(3)当S
△OEF
=
5
18
S
△ABC
时,求点E、F分别在AB、AC上的位置及EF的长.
答案
(1)证明:∵OA=OC,AE=CF,∠EAO=∠C=45°
∴△AOE≌△COF,
∴四边形AEOF的面积=△AOC的面积=
1
2
r
2
.
(2)∵S
△OEF
=S
四边形AEOF
-S
△AEF
=
1
2
r
2
-
1
2
(
2
r-x)•x=
1
2
x
2
-
2
2
rx+
1
2
r
2
,
∴y=
1
2
x
2
-
2
2
rx+
1
2
r
2
(0<x<
2
r)
(3)当S
△OEF
=
5
18
S
△ABC
时,y=
5
18
r
2
∴
1
2
x
2
-
2
2
rx+
1
2
r
2
=
5
18
r
2
∴x
1
=
2
3
r,
x
2
=
2
2
3
r,
∴
AE
AB
=
1
3
,
AF
AC
=
2
3
或
AE
AB
=
2
3
,
AF
AC
=
1
3
即AE=
1
3
AB,AF=
2
3
AC或AE=
2
3
AB,AF=
1
3
AC.
∴EF=
10
3
r.
举一反三
已知二次函数y=x
2
-2mx+m
2
-4的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),且与y轴交于点D.
(1)当点D在y轴正半轴时,是否存在实数m,使得△BOD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由;
(2)当m=-1时,将函数y=x
2
-2mx+m
2
-4的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象Ω.当直线
y=
1
2
x+b
与图象Ω有两个公共点时,求实数b的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知二次函数的顶点C的横坐标为1,一次函数y=kx+2的图象与二次函数的图象交于A、B两点,
且A点在y轴上,以C为圆心,CA为半径的⊙C与x轴相切,
(1)求二次函数的解析式;
(2)若B点的横坐标为3,过抛物线顶点且平行于x轴的直线为l,判断以AB为直径的圆与直线l的位置关系;
(3)在满足(2)的条件下,把二次函数的图象向右平移7个单位,向下平移t个单位(t>2)的图象与x轴交于E、F两点,当t为何值时,过B、E、F三点的圆的面积最小?
题型:不详
难度:
|
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“假日旅乐园”中一种新型水上滑梯如图,其中线段PA表示距离水面(x轴)高度为5m的平台(点P在y轴上).滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分,滑道BCD可以看作是二次函数图象的一部分,两滑道的连接点B为抛物线BCD的顶点,且点B到水面的距离BE=2m,点B到y轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C时,与水面的距离CG=
3
2
m,与点B的水平距离CF=2m.
(1)求反比例函数的解析式及其自变量的取值范围.
(2)求二次函数的解析式及其自变量的取值范围.
(3)小明从点B滑水面上点D处时,试求他所滑过的水平距离d.
题型:不详
难度:
|
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某地计划开凿一条单向行驶(从正中通过)的隧道,其截面是抛物线拱形ACB,而且能通过最宽3米,最高3.5米的厢式货车.按规定,机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5米.为设计这条能使上述厢式货车恰好安全通过的隧道,在图纸上以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,求抛物线拱形
的表达式、隧道的跨度AB和拱高OC.
题型:不详
难度:
|
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如图,在平面直角坐标系中,已知点A、B、C的坐标分别为(-1,0),(5,0)
,(0,2).
(1)求过A、B、C三点的抛物线解析式;
(2)若点P从A点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动,连接PC并延长到点E,使CE=PC,将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF,连接FB.若点P运动的时间为t秒,(0≤t≤6)设△PBF的面积为S;
①求S与t的函数关系式;
②当t是多少时,△PBF的面积最大,最大面积是多少?
(3)点P在移动的过程中,△PBF能否成为直角三角形?若能,直接写出点F的坐标;若不能,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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