如图，已知二次函数y=-x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．（1）求二次函数的解

题型：不详难度：来源：

如图，已知二次函数y=-x²+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

答案

（1）∵OB=OC=3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴

0=-9+3b+c 3=c

，
解得

b=2 c=3

1分
∴二次函数的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，M（1，4）
设直线MB的解析式为y=kx+n，
则有

4=k+n 0=3k+n

解得

k=-2 n=6

∴直线MB的解析式为y=-2x+6
∵PQ⊥x轴，OQ=m，
∴点P的坐标为（m，-2m+6）
S_{四边形ACPQ}=S_△AOC+S_梯形PQOC=

1

2

AO•CO+

1

2

（PQ+CO）•OQ（1≤m≤3）
=

1

2

×1×3+

1

2

（-2m+6+3）•m=-m²+

9

2

m+

3

2

；

（3）线段BM上存在点N（

7

5

，

16

5

），（2，2），（1+

10

5

，4-

2 10

5

）使△NMC为等腰三角形
CM=

(1-0)2+(4-3)2

=

2

，CN=

x2+(-2x+3)2

，MN=

(x-1)2+(-2x+2)2

①当CM=NC时，

x2+(-2x+3)2

=

2

，
解得x₁=

7

5

，x₂=1（舍去）
此时N（

7

5

，

16

5

）
②当CM=MN时，

(x-1)2+(-2x+2)2

=

2

，
解得x₁=1+

10

5

，x₂=1-

10

5

（舍去），
此时N（1+

10

5

，4-

2 10

5

）
③当CN=MN时，

x2+(-2x+3)2

=

(x-1)2+(-2x+2)2

解得x=2，此时N（2，2）．