已知抛物线y=x2+px+q上有一点M（x0，y0）位于x轴的下方．（1）求证：抛物线必与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜x2；（2）求证

题型：不详难度：来源：

已知抛物线y=x²+px+q上有一点M（x₀，y₀）位于x轴的下方．
（1）求证：抛物线必与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0），其中x₁＜x₂；
（2）求证：x₁＜x₀＜x₂；
（3）当点M为（1，-1997）时，求整数x₁、x₂．

答案

（1）由点M（x₀，y₀）位于x轴的下方，
有

y0＜0 y0=x02+px0+q=(x0+ p 2 )2- p2-4q 4

得△=p2-4q=4(x0+

p

2

)2-4y0≥-4y0＞0．
∴方程x²+px+q=0有两个实根，设为x₁、x₂（x₁＜x₂）．
于是抛物线与x轴有两个交点A（x₁，0）、B（x₂，0）．（4分）
（2）由（1）得

x1+x2=-p x1x2=q

①
代入x₀²+px₀+q=y₀＜0，得不等式x₀²-（x₁+x₂）x₀+x₁x₂＜0    
即（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0
故  x₁＜x₀＜x₂．（8分）
（3）由M在抛物线上，而x₁，x₂满足①得
y₀=x₀²-（x₁+x₂）x₀+x₁x₂．即-1997=（x₁-1）（x₂-1）．
∵1997为整数，
∴（x₁-1）、（x₂-1）均为整数，且由x₁＜x₂，知x₁-1＜x₂-1，
得  

x1-1=-1 x2-1=1997

或

x1-1=-1997 x2-1=1

．
∴

x1=0 x2=1998

或

x1=-1996 x2=2

．（14分）