已知二次函数y=mx2+4(m-3)x-16(1)证明:该二次函数的图象与x轴有两个交点;(2)当m为何值时,二次函数的图象与x轴的两个交点间的距离为最小?求出
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已知二次函数y=mx2+4(m-3)x-16 (1)证明:该二次函数的图象与x轴有两个交点; (2)当m为何值时,二次函数的图象与x轴的两个交点间的距离为最小?求出这个最小值,并求此时二次函数图象的开口方向与顶点坐标. |
答案
(1)令y=0,得mx2+4(m-3)x-16=0①, ∵△=16(m-3)2+64m=16(m2-2m+9)=16(m-1)2+128, 故不论m为任何不为0的实数,都有△>0, ∴方程①有两个不等的实根, ∴二次函数图象与x轴有两个交点;
(2)设二次函数图象与x轴两交点的横坐标分别为x1,x2, ∵y=mx2+4(m-3)x-16是二次函数,∴m≠0, ∴二次函数与x轴两交点的距离|x1-x2|== ==4=4, 当且仅当-=0,即m=9时,|x1-x2|有最小值,最小值为, 把m=9代入原式,得此时二次函数为y=9x2+24x-16, ∵9>0,∴当x=-=-=-时,ymin===-32, ∴此时二次函数图象的开口向上,顶点坐标为(-,-32). |
举一反三
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