已知点A（-1，-1）在抛物线y=（k2-1）x2-2（k-2）x+1上，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，（1）求k的值和点B的坐标；（2）是否存在与此抛物线

题型：广州一模难度：来源：

已知点A（-1，-1）在抛物线y=（k²-1）x²-2（k-2）x+1上，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，
（1）求k的值和点B的坐标；
（2）是否存在与此抛物线仅有一个公共点B的直线？如果存在，求出符合条件的直线的解析式；如果不存在，简要说明理由．

答案

（1）根据题意，将x=-1，y=-1，代入抛物线的解析式，得
（k²-1）×（-1）²-2（k-2）×（-1）+1=-1
解得k₁=1，k₂=-3．
由于k²-1≠0，所以k=-3．
抛物线的解析式是y=8x²+10x+1，
对称轴为直线x=-

5

8

，
∵点B和点A（-1，-1）关于直线x=-

5

8

对称，
∴B（-

1

4

，-1）．

（2）存在．
理由如下：
设经过点B的直线的解析式是y=mx+n，将B点坐标代入得m-4n=4．①
又∵要使直线与抛物线只有一个公共点，
只要使方程mx+n=8x²+10x+1有两个相等的实数根，
方程mx+n=8x²+10x+1
整理得，8x²+（10-m）x+1-n=0，
得△=（10-m）²-32（1-n）=0②
将①代②，解出，m=6，n=

1

2

，
则它的解析式是y=6x+

1

2

．
又有过点B，平行于y轴的直线与抛物线仅有一个公共点，
即x=-

1

4

．
答：直线的解析式y=6x+

1

2

或x=-

1

4

．