已知函数y1=x,y2=12x2+12.(Ⅰ)当自变量x=1时,分别计算函数y1、y2的值;(Ⅱ)说明:对于自变量x的同一个值,均有y1≤y2成立;(Ⅲ)是否存

已知函数y1=x,y2=12x2+12.(Ⅰ)当自变量x=1时,分别计算函数y1、y2的值;(Ⅱ)说明:对于自变量x的同一个值,均有y1≤y2成立;(Ⅲ)是否存

题型:红桥区一模难度:来源:
已知函数y1=x,y2=
1
2
x2+
1
2

(Ⅰ)当自变量x=1时,分别计算函数y1、y2的值;
(Ⅱ)说明:对于自变量x的同一个值,均有y1≤y2成立;
(Ⅲ)是否存在二次函数y3=ax2+bx+c同时满足下列两个条件:
①当x=-1时,函数值y1≤y3≤y2; ②对于任意的实数x的同一个值,都有y1≤y3≤y2
若存在,求出满足条件的函数y3的解析式;若不存在,请说明理由.
答案
(1)当x=1时,y1=1,y2=1;

(2)y1-y2=x-(
1
2
x2+
1
2
)

=-
1
2
x2+x-
1
2

=-
1
2
(x2-2x+1)

=-
1
2
(x-1)2≤0

∴y1≤y2

(3)假设存在y3=ax2+bx+c,使得y1≤y3≤y2成立,
当x=-1时,y3=0,y1=-1,y2=1,
∴a-b+c=0,
当x=1时,1≤a+b+c≤1,
∴a+b+c=1,
∴b=a+c=
1
2

y3=ax2+(a+c)x+c
若x≤ax2+(a+c)x+c,即0≤ax2+(a+c-1)x+c





a>0
(a+c-1)2-4ac≤0
,即





a>0
(a-c)2-2(a+c)+1≤0

ax2+(a+c)x+c≤
1
2
x2+
1
2
,即(a-
1
2
)x2+(a+c)x+(c-
1
2
)≤0






a<
1
2
(a+c)2-4(a-
1
2
)(c-
1
2
)≤0
,即





a<
1
2
(a-c)2+2(a+c)-1≤0

由不等式①、②得:0<a<
1
2
,(a-c)2≤0,a=c=
1
4

∴满足条件的函数解析式为y3=
1
4
x2+
1
2
x+
1
4
举一反三
某批发市场批发甲、乙两种水果,根据以往经验和市场行情,预计夏季某一段时间内,甲种水果的销售利润y(万元)与进货量x(吨)近似满足函数关系y=0.3x;乙种水果的销售利润y(万元)与进货量x(吨)近似满足函数关系y=-0.1x2+bx(其中b为常数),且进货量x为1吨时,销售利润y为1.4万元
(1)若求y(万元)与x(吨)之间的函数关系式.并计算说明:乙种水果进货多少的时候销售利润y(万元)才能最大?最大利润是多少?
(2)甲种水果的销售利润y(万元)要达到乙种水果最大的销售利润y(万元),需要进货多少吨?
(3)如果该批发市场准备进甲、乙两种水果共10吨,请你通过计算说明如何进货(这两种水果各进多少吨)才能获得销售利润之和最大,最大利润是多少?
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经过三点(-1,0),(3,0)和(2,-3)的抛物线的解析式是______;顶点坐标是______.
题型:不详难度:| 查看答案
函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(a,8),则a的值为(  )
A.±2B.-2C.2D.3
题型:不详难度:| 查看答案
已知:二次函数y=-(x-h)2+k图象的顶点P在x轴上,且它的图象经过点A(3,-1),与y轴相交于点B,一次函数y=ax+b的图象经过点P和点A,并与y轴的正半轴相交.
求:(1)k的值;
(2)这个一次函数的解析式;
(3)∠PBA的正弦值.
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已知抛物线y=x2+(n-3)x+n+1经过坐标原点O.
(1)求这条抛物线的顶点P的坐标;
(2)设这条抛物线与x轴的另一个交点为A,求以直线PA为图象的一次函数解析式.
题型:上海模拟难度:| 查看答案
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