如图所示,已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-4,0)、B(1,0)、C (-2,6 )。(1)求经过A、B、C、三点的抛物线解析式;(2)设直线BC交y轴于

如图所示,已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-4,0)、B(1,0)、C (-2,6 )。(1)求经过A、B、C、三点的抛物线解析式;(2)设直线BC交y轴于

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如图所示,已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-4,0)、B(1,0)、C (-2,6 )。
(1)求经过A、B、C、三点的抛物线解析式;
(2)设直线BC交y轴于点E,连接AE,求证:AE=CE;
(3)设抛物线与y轴交于点D,连接AD交BC于点F,试问:以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗?
答案
解:(1)设经过A、B、C三点的抛物线解析式为
依题意,得:            
将点C(-2,6)代入,解得:a=-1
∴所求抛物线的解析式为:
(2)由B(1,0)、C(-2,6),易求得:过BC的一次函数解析式为:y=-2x+2       
∴当x=0,y=2,
即:点E坐标为(0,2)
,        
∴AE=CE ; 
(3)相似,理由如下:由(1)可知,抛物线的解析式为:y=-x2-3x+4,
∴当x=0,y=4,?点D的坐标为(0,4)
由过BC的一次函数y=-2x+2和过AD的一次函数y=x+4,
联立求得它们的交点F,
∴点F的坐标为
∴BF=,BC=,AB=5

又∵∠ABF=∠CBA
∴△ABF∽ABC。
举一反三
如图所示,在平面直角坐标系中,直线l:y=-2x+b(b≥0)的位置随b的不同取值而变化。
(1)已知⊙M的圆心坐标为(4,2),半径为2。
当 b=             时,直线l:y= -2x + b (b≥0)经过圆心M;
当 b=             时,直线l:y= -2x + b (b≥0)与⊙M相切;
(2)若把⊙M换成矩形ABCD,其三个顶点坐标分别为:A(2,0)、B(6,0)、C(6,2)。设直线l扫过矩形ABCD的面积为S,当b由小到大变化时,请求出S与b的函数关系式。
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如图,抛物线y=x2x﹣9与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC、AC。
(1)求AB和OC的长;
(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作直线l平行BC,交AC于点D,设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,连接CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π)。
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如图,抛物线m :y=(x+h )2+k 与x 轴的交点为A 、B ,与y 轴的交点为C ,顶点为M (3,),将抛物线m 绕点B旋转180°,得到新的抛物线n,它的顶点为D。
(1)求抛物线n的解析式;
(2)设抛物线n与x 轴的另一个交点为E,点P是线段ED上一个动点(P 不与E 、D 重合),过点P 作y 轴的垂线,垂足为F ,连接EF .如果P 点的坐标为(x ,y ),△PEF的面积为S,求S 与x的函数关系式,写出自变量x 的取值范围,并求出S 的最大值;
(3)设抛物线m 的对称轴与x 轴的交点为G ,以G为圆心,A、B两点间的距离为直径作⊙G ,试判断直线CM与⊙G 的位置关系,并说明理由。
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我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面,经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形,不妨简称为“锅线”,锅口直径为6dm,锅深3dm,锅盖高1dm(锅口直径与锅盖直径视为相同),建立直接坐标系如图①所示,如果把锅纵断面的抛物线的记为C1,把锅盖纵断面的抛物线记为C2
(1)求C1和C2的解析式;
(2)如图②,过点B作直线BE:y=x﹣1交C1于点E(﹣2,﹣),连接OE、BC,在x轴上求一点P,使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似,求出P点的坐标;
(3)如果(2)中的直线BE保持不变,抛物线C1或C2上是否存在一点Q,使得△EBQ的面积最大?若存在,求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值;若不存在,请说明理由.
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如图,在平面直角坐标系中,直线y=-2x+42 交x 轴于点A ,交直线y=x 于点B ,抛物线y=ax2-2x+c 分别交线段AB 、OB 于点C 、D ,点C 和点D 的横坐标分别为16 和4 ,点P 在这条抛物线上。
(1)求点C、D的纵坐标;
(2)求a、c的值;
(3)若Q为线段OB上一点,P、Q两点的纵坐标都为5,求线段PQ的长;
(4)若Q为线段OB 或线段AB上一点,PQ⊥x轴,设P、Q两点间的距离为d(d >0 ),点Q的横坐标为m,直接写出d随m 的增大而减小时m的取值范围。[ 参考公式:二次函数y=ax2+bx+c (a ≠0 )图象的顶点坐标为]
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