在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角尺ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2)，点C（-1，O），如图所示，抛物线y= ax2 +ax-2经过

题型：模拟题难度：来源：

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角尺ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2)，点C（-1，O），如图所示，抛物线y= ax² +ax-2经过点B．    
(l)求点B的坐标；    
(2)求抛物线的解析式；
(3)在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．  

答案

解：(1)过点B作BD⊥x轴，垂足为点D．    
∵∠BCD+ ∠ACO= 90°，∠ACO十∠CAO=90°，
∴∠BCD=∠CAO．    
又∵∠BDC=∠COA=90．CB= AC．   
 ∴△BCD≌△CAO，    
∴BD=OC=1，CD=OA=2．    
∴点B的坐标为（-3，1）．    
(2)抛物线y=ax² +ax-2经过点B（-3，1），则1= 9a-3a-2．    解得a=，
所以抛物线的解析式为y=．    
(3)存在，假设存在点P．使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形，    
①若以点C为直角顶点，则延长BC至点P₁，使得P₁C= BC，得到等腰直角三角形ACP₁，过点P_l作P₁ M⊥x轴，    
∵C P1=BC，∠MC P₁=∠BCD，∠P₁MC=∠BDC=90°，
∴△M P₁ C≌△DBC.   ∵CM=CD=2．P₁M= BD=1，可求得点P₁（1，一1）；    
②若以点A为直角顶点，则过点A作A P₂ ⊥CA，且使得A P₂ =AC，
得到等腰直角三角形AC P₂，过点P₂作P₂ ⊥y轴，同理可证△A P₂N≌△CAO，   
 ∴N P₂=OA=2，AN =OC=l，可求得点P₂ (2，1)．    
经检验，点P₁（1，-1）与点P₂ (2，1)都在抛物线上．