已知x1,x2是关于x的方程(x﹣2)(x﹣m)=(p﹣2)(p﹣m)的两个实数根. (1)求x1,x2的值; (2)若x1,x2是某直角三角形的两直角边的长,
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已知x1,x2是关于x的方程(x﹣2)(x﹣m)=(p﹣2)(p﹣m)的两个实数根. (1)求x1,x2的值; (2)若x1,x2是某直角三角形的两直角边的长,问当实数m,p满足什么条件时,此直角三角形的面积最大?并求出其最大值. |
答案
解:(1)原方程变为:x2﹣(m+2)x+2m=p2﹣(m+2)p+2m, ∴x2﹣p2﹣(m+2)x+(m+2)p=0, (x﹣p)(x+p)﹣(m+2)(x﹣p)=0, 即(x﹣p)(x+p﹣m﹣2)=0, ∴x1=p,x2=m+2﹣p; (2)根据(1)得到直角三角形的面积为
x1x2= p(m+2﹣p)= p2+ (m+2)p=﹣ (p﹣ )2+ , ∴当p= 且m>﹣2时,以x1,x2为两直角边长的直角三角形的面积最大,最大面积为 . |
举一反三
已知抛物线 y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(4,3),C(1,O).求: (1)该抛物线的解析式; (2)它的图象的顶点坐标,对称轴方程; (3)y<0时x的取值范围. |
已知抛物线y=ax2经过点A(2,1) (1)求这个函数的解析式; (2)写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标; (3)求△OAB的面积; (4)抛物线上是否存在点C,使△ABC的面积等于△OAB面积的一半?若存在,求出C点的坐标,若不存在,请说明理由. |
如图,是某市一条河上一座古拱挢的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线拱桥处于正常水位时水面宽AB为26m,当水位上涨1m时,抛物线拱桥的水面宽CD为24m.现以水面AB所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系. (1)求出抛物线的解析式; (2)经过测算,水面离拱桥顶端1.5m时为警戒水位.某次洪水到来时,小明用仪器测得水面宽为10m,请你帮助小明算一算,此时水面是否超过警戒水位? |
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枇杷是莆田名果之一,某果园有100棵枇杷树.每棵平均产量为40千克,现准备多种一些枇杷树以提高产量,但是如果多种树,那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会减少,根据实践经验,每多种一棵树,投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克,问:增种多少棵枇杷树,投产后可以使果园枇杷的总产量最多?最多总产量是多少千克? |
如图:抛物线经过A(﹣3,0)、B(0,4)、C(4,0)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)已知AD=AB(D在线段AC上),有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动,经过t秒的移动,线段PQ被BD垂直平分,求t的值; (3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MC有最小值?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(注:抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=﹣ ) |
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