如图,以等边△OAB的边OB所在直线为x轴,点O为坐标原点,使点A在第一象限建立平面直角坐标系,其中△OAB边长为6个单位,点P从O点出发沿折线OAB向B点以3

如图,以等边△OAB的边OB所在直线为x轴,点O为坐标原点,使点A在第一象限建立平面直角坐标系,其中△OAB边长为6个单位,点P从O点出发沿折线OAB向B点以3

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如图,以等边△OAB的边OB所在直线为x轴,点O为坐标原点,使点A在第一象限建立平面直角坐标系,其中△OAB边长为6个单位,点P从O点出发沿折线OAB向B点以3单位/秒的速度向B点运动,点Q从O点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA向A点运动,两点同时出发,运动时间为t(单位:秒),当两点相遇时运动停止。
(1)点A坐标为_____,P、Q两点相遇时交点的坐标为_____;
(2)当t=2时,_____;当t=3时,____;
(3)设△OPQ的面积为S,试求S关于t的函数关系式;
(4)当t=2时,试求在y轴上能否找一点M,使得以M、P、Q为顶点的三角形是Rt△,若能找到请求出M点的坐标,若不能找到请简单说明理由。
答案
解:(1)A点坐标为、交点坐标为
(2)当t=2时,;当t=3时,
(3)当时,
时,
(4)①,过P作PM⊥PQ交y轴于M点,过M作MN⊥AC于N,则MN=OC=3,
易得Rt△PMN∽△QPC,有,得PN=,MO=NC=
故M点坐标为
②过Q作MQ⊥PQ交y轴于M点,通过△MOQ∽△QCP,求得M坐标为
③ 以PQ为直径作⊙D,则⊙D半径r为,再过P作PE⊥y轴于E点,
过D作DF⊥y轴于F点,由梯形中位线
求得DF=,显然r<DF,故⊙D与y无交点,
那么此时在y轴上无M点使得△MPQ为直角三角形.
综上所述,满足要求的M点

举一反三
把抛物线y=2x2先向左平移3个单位,再向上平移4个单位,所得抛物线的函数表达式为(    )。
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如图,已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A(-1, 0)和点B(0,-5)。

(1)求该二次函数的解析式;
(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P,使得△ABP的周长最小,请求出点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,在x轴上找一点M,使得△APM是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点M的坐标。
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如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4,OC=2,点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒,将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,点D随点P的运动而运动,连接DP、DA。
(1)请用含t的代数式表示出点D的坐标;
(2)求t为何值时,△DPA的面积最大,最大为多少?
(3)在点P从O向A运动的过程中,△DPA能否成为直角三角形?若能,求t的值,若不能,请说明理由;(4)请直接写出随着点P的运动,点D运动路线的长。
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飞碟射击是奥运会上一项重要的射击比赛项目,比赛时,运动员用猎枪击中快速从地底飞出的碟靶而得分,如图,碟靶从地下0.5m处的O点被抛出,在B点处飞离地面,以O为坐标原点,经过O点且平行于地面的直线为x轴,垂直于地面的直线为y轴,建立如图平面直角坐标系,若碟靶的飞行路线是y=ax2+bx的抛物线,且AB=1m。
(1)若碟靶飞行到点C(5,)处时被运动员击中,求碟靶飞行路线所在抛物线的函数关系式;
(2)若碟靶的飞行路线不变且碟靶未被击中,求此时碟靶落到地面后到B的距离。

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一小球被抛出后,距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下面函数关系式h=-8(t-1)2+5,则小球距离地面的最大高度是

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A.1米
B.5米
C.6米
D.8米
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