已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A（0，1）、B（0，3），第三个顶点C在x轴的正半轴上，关于y轴对称的抛物线y=ax2+bx+c经过A、D（3，-2）、P

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已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A（0，1）、B（0，3），第三个顶点C在x轴的正半轴上，关于y轴对称的抛物线y=ax²+bx+c经过A、D（3，-2）、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上。

（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式及点P的坐标；
（3）设M是y轴上的一个动点，求PM+CM的取值范围。

答案

解：（1）∵A（0，1），B（0，3）
∴AB=2，
∵△ABC是等腰三角形，且点C在x轴的正半轴上，
∴AC=AB=2，
∴OC=，
∴，
设直线BC的解析式为y=kx+3，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为；
（2）∵抛物线关于y轴对称，
∴b=0，
又抛物线经过A（0，1），D（3，-2）两点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式是，
在Rt△AOC中，OA=1，AC=2，易得∠ACO=30°，
在Rt△BOC中，OB=3，OC=，易得，
∴CA是∠BCO的角平分线，
∴直线BC与x轴关于直线AC对称，
点P关于直线AC的对称点在x轴上，
则符合条件的点P就是直线BC与抛物线的交点，
点P在直线BC：上，
故设点P的坐标为，
又点在抛物线上，
∴，
解得，
故所求的点P的坐标是；
（3）要求PM+CM的取值范围，可先求PM+CM的最小值；
I）当点P的坐标是时，点P与点C重合，故PM+CM=2CM
显然CM的最小值就是点C到y轴的距离为，
∵点M是y轴上的动点，
∴PM+CM无最大值，
∴PM+CM≥2，
II）当点P的坐标是时，由点C关于y轴的对称点，
故只要求的最小值，显然线段最短，易求得，
∴的最小值是6，
同理没有最大值，
∴的取值范围是，
综上所述，当点P的坐标是时，，
当点P的坐标是时，。