对于二次函数y=ax2+bx+c,如果当x取任意整数时,函数值y都是整数,那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如:y=x2+2x+2)。(1)请你写出一个二

对于二次函数y=ax2+bx+c,如果当x取任意整数时,函数值y都是整数,那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如:y=x2+2x+2)。(1)请你写出一个二

题型:浙江省中考真题难度:来源:
对于二次函数y=ax2+bx+c,如果当x取任意整数时,函数值y都是整数,那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如:y=x2+2x+2)。
(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式______。(不必证明)
(2)请探索:是否存在二次项系数的绝对值小于的整点抛物线?若存在,请写出其中一条抛物线的解析式;若不存在,请说明理由。
答案
解:(1)(答案不唯一)。
(2)假设存在符合条件的抛物线,则对于抛物线


由整点抛物线定义知:c为整数,为整数
必为整数
又当x=2时,是整数
∴2a必为整数,从而a应为的整数倍


∴不存在二次项系数的绝对值小于的整点抛物线。
举一反三
一家电脑公司推出一款新型电脑,投放市场以来前3个月的利润情况如所示,该图可以近看作为抛物线的一部分,请结合图象,解答以下问题:
(1)求该抛物线对应的二次函数解析式;
(2)该公司在经营此款电脑过程中,第几月的利润最大?最大利润是多少?
(3)若照此经营下去,请你结合所学的知识,对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损?何时亏损?)作预测分析。
题型:四川省中考真题难度:| 查看答案
如图,在平面直角坐标系xOy中,△OAB的顶点A的坐标为(10,0),顶点B在第一象限内,且,sin∠OAB=
(1)若点C是点B关于x轴的对称点,求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式;
(2)在(1)中,抛物线上是否存在一点P,使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若将点O、点A分别变换为点Q(-2k ,0)、点R(5k,0)(k>1的常数),设过Q、R两点,且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N,其顶点为M,记△QNM的面积为,△QNR的面积,求的值。
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已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB<OC)是方程x2-10x+16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=-2。
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)求此抛物线的表达式;
(3)求△ABC的面积;
(4)若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(5)在(4)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请说明理由。
题型:云南省中考真题难度:| 查看答案
我州有一种可食用的野生菌,上市时,外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中,据预测,该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元;但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元,而且这类野生菌在冷库中最多保存160天,同时,平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售。
(1)设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元,试写出y与x之间的函数关系式;
(2)若存放x天后,将这批野生菌一次性出售,设这批野生菌的销售总额为P元,试写出P与x之间的函数关系式;
(3)李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元?(利润=销售总额-收购成本-各种费用)
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如图,将△AOB置于平面直角坐标系中,其中点O为坐标原点,点A的坐标为(3,0),∠ABO=60°。
(1)若△AOB的外接圆与y轴交 于点D,求D点坐标;
(2)若点C的坐标为(-1,0),试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系,并加以说明;
(3)二次函数的图象经过点O和 A且顶点在圆上,求此函数的解析式。

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