对于二次函数y=ax2+bx+c，如果当x取任意整数时，函数值y都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线（例如：y=x2+2x+2）。（1）请你写出一个二

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对于二次函数y=ax²+bx+c，如果当x取任意整数时，函数值y都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线（例如：y=x²+2x+2）。
（1）请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式______。（不必证明）
（2）请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于

的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）

（答案不唯一）。
（2）假设存在符合条件的抛物线，则对于抛物线

当

时

当

时

由整点抛物线定义知：c为整数，

为整数
∴

必为整数
又当x=2时，

是整数
∴2a必为整数，从而a应为

的整数倍
∵

∴

∴不存在二次项系数的绝对值小于

的整点抛物线。

举一反三

一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来前3个月的利润情况如所示，该图可以近看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：

（1）求该抛物线对应的二次函数解析式；
（2）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？
（3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况（是否亏损？何时亏损？）作预测分析。

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如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且

，sin∠OAB=

。
（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；
（2）在（1）中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将点O、点A分别变换为点Q（-2k ，0）、点R（5k，0）（k>1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为

，△QNR的面积

，求

∶

的值。

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已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=-2。

（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）求△ABC的面积；
（4）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（5）在（4）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由。

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我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售。
（1）设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式；
（2）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P与x之间的函数关系式；
（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元？（利润=销售总额-收购成本-各种费用）

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如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60°。
（1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标；
（2）若点C的坐标为（-1，0），试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明；
（3）二次函数的图象经过点O和 A且顶点在圆上，求此函数的解析式。

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