如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且，sin∠OAB=。（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且，sin∠OAB=。
（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；
（2）在（1）中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将点O、点A分别变换为点Q（-2k ，0）、点R（5k，0）（k>1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为，△QNR的面积，求∶的值。

答案

解：（1）如图，过点B作于点D，
在中，
∵，
∴，
又由勾股定理，得
，
∴
∵点B在第一象限内，
∴点B的坐标为（4，3），
∴点B关于x轴对称的点C的坐标为（4，-3），
设经过三点的抛物线的函数表达式为，
由
∴经过三点的抛物线的函数表达式为；
（2）假设在（1）中的抛物线上存在点P，使以为顶点的四边形为梯形，
①∵点不是抛物线的顶点，
∴过点C作直线OA的平行线与抛物线交于点P₁
则直线的函数表达式为y=-3，
对于，令或，
∴
而点，
在四边形中，，显然
∴点是符合要求的点
②若，设直线CO的函数表达式为，
将点代入，得，
∴直线CO的函数表达式为，
于是可设直线的函数表达式为
将点代入，得
∴直线的函数表达式为
由，即，
∴
而点，
过点作轴于点E，则，
在中，由勾股定理，得
而，
∴在四边形中，，但，
∴点是符合要求的点，
③若，设直线CA的函数表达式为，
将点代入，得
∴直线CA的函数表达式为，
∴直线的函数表达式为，
由，即，
∴
而点，
过点作轴于点F，则，
在中，由勾股定理，得，

而
∴在四边形中，，但，
∴点是符合要求的点，
综上可知，在（1）中的抛物线上存在点，使以为顶点的四边形为梯形；
（3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下，
①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y轴的负半轴交于点N，
可设抛物线的函数表达式为，
即，
如图，过点M作轴于点G
∵，，
∴，

∴ 




∴ 
②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y轴的正半轴交于点N，
同理，可得，
综上可知，的值为。