如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm。从初始时刻开始，动点P，Q 分别从点A，B同时出

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如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm。从初始时刻开始，动点P，Q 分别从点A，B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿A-B-C-E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B-C-E-D的方向运动，到点D停止，设运动时间为xs，△PAQ的面积为ycm²，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题：

（1）当x=2s时，y=______cm²；当x=

s时，y=______cm²。
（2）当5≤x≤14 时，求y与x之间的函数关系式。
（3）当动点P在线段BC上运动时，求出y=

S_梯形ABCD时x的值。
（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值。

答案

解：（1）2；9；
（2）当5≤x≤9时
y=S_梯形ABCQ-S_△ABP-S_△PCQ=

（5+x-4）×4-

×5（x-5）-

（9-x）（x-4）

当9＜x≤13时
y=

（x-9+4）（14-x）

当13＜x≤14时
y=

×8（14-x）=-4x+56
即y=-4x+56。
（3）当动点P在线段BC上运动时
∵

S_梯形ABCD=（4+8）×5=8

即x²-14x+49=0
解得x₁=x₂=7
∴当x=7时，

S_梯形ABCD；
（4）

，

。

举一反三

如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为

，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，B（-1，0），C、D两点在抛物线y=

x²+bx+c上。
（1）求此抛物线的表达式；
（2）正方形ABCD沿射线CB以每秒

个单位长度平移，1秒后停止，此时B点运动到B₁点，试判断B₁点是否在抛物线上，并说明理由；
（3）正方形ABCD沿射线BC平移，得到正方形A₂B₂C₂D₂，A₂点在x轴正半轴上，求正方形ABCD的平移距离。

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如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，平行四边形的顶点C的坐标为（8，8），顶点A的坐标为（-6，0），边AB在x轴上，点E为线段AD的中点，点F在线段DC上，且横坐标为3，直线EF与y轴交于点G，有一动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A沿折线A-B-C-F运动，当点P到达点F时停止运动，设点P运动时间为t秒。
（1）求直线EF的表达式及点G的坐标；
（2）点P在运动的过程中，设△EFP的面积为S（P不与F重合），试求S与t的函数关系式；
（3）在运动的过程中，是否存在点P，使得△PGF为直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

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如图，抛物线y=ax²+bx+

（a≠0）经过A（-3，0）、C（5，0）两点，点B为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D。

（1）求此抛物线的解析式；
（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为ts，过点P作PM⊥BD交BC于点M，过点M作MN∥BD，交抛物线于点N。
①当t为何值时，线段MN最长；
②在点P运动的过程中，是否有某一时刻，使得以O、P、M、C为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求出此刻的t值；若不存在，请说明理由。
参考公式：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是

。

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如图，在直角坐标系中，点P的坐标是（n，0）（n＞0），抛物线y=-x²+bx+c经过原点O和点P，已知正方形ABCD的三个顶点为A（2，2），B（3，2），D（2，3）。

（1）求c，b并写出抛物线对称轴及y的最大值（用含有n的代数式表示）；
（2）求证：抛物线的顶点在函数y=x²的图象上；
（3）若抛物线与直线AD交于点N，求n为何值时，△NPO的面积为1；
（4）若抛物线经过正方形区域ABCD（含边界），请直接写出n的取值范围。
[参考公式：y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是

]

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如图，已知Rt△ABO，∠BAO=90°，以点O为坐标原点，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，AO=3，∠AOB=30°，将Rt△ABO沿OB翻折后，点A落在第一象限内的点D处。
（1）求D点坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过B、D两点，求此抛物线的表达式；
（3）若抛物线的顶点为E，它的对称轴与OB交于点F，点P为射线OB上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，是否存在点P，使得以E、F、M、P为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由，参考公式：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是

。

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