如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，直线l经过O、C两点，点A的坐标为（8，o），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒

题型：山西省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，直线l经过O、C两点，点A的坐标为（8，o），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C-B相交于点M。当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t>0），△MPQ的面积为S。
（1）点C的坐标为___________，直线的解析式为____________；
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；
（3） 试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；
（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N。试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值。

答案

解：（1）（3，4）；；
（2）根据题意，得OP=t，AQ=2t，
分三种情况讨论：
①当时，如图1，M点的坐标是（），
过点C作CD⊥x轴于D，过点Q作QE⊥ x轴于E，可得△AEO∽△ODC，
∴，
∴，
∴，
∴Q点的坐标是（），
∴PE=，
∴S=，
②当时，如图2，过点q作QF⊥x轴于F，
∵，
∴OF=，
∴Q点的坐标是（），
∴PF=，
∴S=，
③当点Q与点M相遇时，，
解得，
③当时，如图3，MQ=，MP=4，
S=，
①②③中三个自变量t的取值范围；
（3）① 当时，
∵，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，S随t的增大而增大，
∴当时，S有最大值，最大值为，
②当时，，
∵，
抛物线开口向下，
∴当时，S有最大值，最大值为，
③当时，，
∵，
∴S随t的增大而减小，
又∵当t=3时，S=14，
当时，S=0，
∴，
综上所述，当时，S有最大值，最大值为；
（4）当时，△QMN为等腰三角形。