在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点。（1）求此抛物线的解析式；（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的

题型：云南省中考真题难度：来源：

在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。（注意：本题中的结果可保留根号）

答案

解：（1）设抛物线的解析式为：，
由题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；（2）存在，
抛物线的顶点坐标是，
作抛物线和⊙M（如图），
设满足条件的切线l与x轴交于点B，与⊙M相切于点C 连接MC，
过C作CD⊥x 轴于D，
∵MC=OM=2，∠CBM=30°，CM⊥BC，
∴∠BCM=90°，∠BMC=60°，BM=2CM=4，
∴B（-2，0）
在Rt△CDM中，∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°，
∴DM=1，CD=
∴ C（1，）
设切线l的解析式为：，
点B、C在l上，可得：
解得：
∴切线BC的解析式为：
∵点P为抛物线与切线的交点
由解得：，
∴点P的坐标为：，
∵ 抛物线的对称轴是直线x=2，
此抛物线、⊙M都与直线x=2成轴对称图形，
于是作切线l关于直线x=2的对称直线l′（如图）得到B、C关于直线的对称点B₁、C₁，
l′满足题中要求，由对称性，得到P₁、P₂关于直线x=2的对称点：，即为所求的点，
∴这样的点P共有4个：，，，。