如图，抛物线y=ax2+bx（a>0）与双曲线相交于点A，B，已知点B的坐标为（-2，-2），点A在第一象限内，且tan∠AOX=4，过点A作直线AC∥x

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，抛物线y=ax²+bx（a>0）与双曲线相交于点A，B，已知点B的坐标为（-2，-2），点A在第一象限内，且tan∠AOX=4，过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C。
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积，若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由。

答案

解：（1）把点B（-2，-2）的坐标代入得，，
∴k=4，
∴双曲线的解析式为：，
设A点的坐标为（m，n），
∵A点在双曲线上，
∴mn=4，
又∵tan∠AOX=4，
∴=4，即m=4n，
∴n²=1，
∴n=±1，
∵A点在第一象限，
∴n=1，m=4，
∴A点的坐标为（1，4），
把A、B点的坐标代入得，，
解得，a=1，b=3，
∴抛物线的解析式为：； （2）∵AC∥x轴，
∴点C的纵坐标y=4，代入得方程，，
解得x₁=-4，x₂=1（舍去），
∴C点的坐标为（-4，4），且AC=5，
又∵△ABC的高为6，
∴△ABC的面积=×5×6=15； （3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积，
理由如下：过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D，此时△ABD的面积等于△ABC的面积（同底：AB，等高：CD和AB的距离），
∵直线AB相应的一次函数是：，且CD∥AB，
∴可设直线CD解析式为，
把C点的坐标（-4，4）代入可得，p=12，
∴直线CD相应的一次函数是：，
解方程组，解得，，
∴点D的坐标为（3，18）。