如图，在平面直角坐标系中，己知点A（-2，-4 ），OB=2。抛物线y=ax2+bx+c经过A、O、B 三点。（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M 是抛物线

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，己知点A（-2，-4 ），OB=2。抛物线y=ax²+bx+c经过A、O、B 三点。
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点M 是抛物线对称轴上的一点，试求MO+MA的最小值；
（3）在此抛物线上，是否存在一点P，使得以点P与点O、A、B 为顶点的四边形是梯形。若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）由OB=2，可知B（2，0），
将A（-2，-4），B（2，0），O（0，0 ）三点坐标代入抛物线表达式，
得，解得，
∴抛物线的函数表达式为。

（2）由可得，
抛物线的对称轴为直线x=1，
且对称轴x=1是线段OB的垂直平分线，
连结AB 交直线x=1于点M即为所求，
∵MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB，
作AC⊥x轴，垂足为C，则AC=4，BC=4 ，
∴AB=，
∴MO+MA的最小值为； （3）①若OB∥AP，此时点A与点P关于直线x=1对称，
由A（-2，-4）得P（4，-4），
则得梯形OAPB，
②若OA∥BP，设直线OA的表达式为y=kx，
由A（-2，-4）得y=2x，
设直线BP的表达式为，
由B（2，0）得，0=4+m 即m=-4，
∴直线BP 的表达式为，
由解得（不合题意，舍去）
当，
∴点P（-4，-12），
则得梯形OAPB，
③若AB∥OP，设直线AB的表达式为，
由A（-2，-4），B（2 ，0）得，
解得，
∴直线AB 的表达式为，
∴直线OP 的表达式为y=x，
由解得（不合题意，舍去），
此时点P不存在，
综上所述，存在两点P（4，-4）或P（-4，-12）使得以点P与点O、A、B 为顶点的四边形是梯形。