如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，连接AC、BC，A、C两点的坐标分别为A（-3，0）、C）（0，），且

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，连接AC、BC，A、C两点的坐标分别为A（-3，0）、C）（0，），且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等。
（1）求实数a、b、c的值；
（2）若点M、M同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMA沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B、N、Q为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

答案

解：（1）由题意，得，解之得；（2）由（1）得，
当y=0时，x=-3或x=1，
∴B（1，0），A（-3，0），C（0，），
∴OA=3，OB=1，OC=，
易求AC=2，BC=2，AB=4，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，∠CAB=30°，∠ABC=60°，
又由BM=BN=PN=PM知四边形PMBN为菱形，
∴PN∥AB，
∴即，
∴，
过P作PE⊥AB于E，在Rt△PEM中，∠PME=∠B=60°，，
∴，，
又OM=BM-OB=，故OE=1，
∴；（3）由（1）、（2）知抛物线的对称轴为直线x=-1，且∠ACB=90°，
①若∠BQN=90°，
∵BN的中点到对称轴的距离大于1，
而，
∴以BN为直径的圆不与对称轴相交，
∴∠BQN≠90°
即此时不存在符合条件的Q点；
②若∠BNQ=90°，
当∠NBQ=60°，则Q、E重合，此时∠BNQ≠90°；
当∠NBQ=30°，则Q、P重合，此时∠BNQ≠90°，
即此时不存在符合条件的Q点；
③若∠QBN=90°，延长NM交对称轴于点Q，此时，Q为P关于x轴的对称点，
∴为所求。