已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为（0，），且ac=。（1）若该函数的图象经过点（-1，-1），①求使y＜0成立的x的取值范围；②若圆心在该函数

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已知二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点坐标为（0，），且ac=。
（1）若该函数的图象经过点（-1，-1），
①求使y＜0成立的x的取值范围；
②若圆心在该函数的图象上的圆与x轴、y轴都相切，求圆心的坐标；
（2）经过A（0，p）的直线与该函数的图象相交于M，N两点，过M，N作x轴的垂线，垂足分别为M₁，N₁，设△MAM₁，△AM₁N₁，△ANN₁的面积分别为s₁，s₂，s₃，是否存在m，使得对任意实数p≠0都有s₂²=ms₁s₃成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点坐标为（0，），且ac=，
又∵函数的图象经过点（-1，-1），代入二次函数解析式得方程组，
解得：a=-，b=0，c=-，y=-x²-，
①利用函数图象可知使y＜0成立的x的取值范围是：全体实数；
②若圆心在该函数的图象上的圆与x轴、y轴都相切，
假设与x轴切点为Q，与y轴切点为F，
∴OQ=FO，∴-x=-x²-，整理得：x²-2x+1=0，解得：x₁=x₂=1，
∴QO=FO=1，
∴圆心的坐标为：（1，-1）或（-1，1）；
（2）存在m，使得对任意实数p≠0都有s₂²=ms₁s₃成立。