如图1，抛物线y=mx2-11mx+24m（m＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°。（1）填空：OB

题型：福建省中考真题难度：来源：

如图1，抛物线y=mx²-11mx+24m（m＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°。
（1）填空：OB=____，OC=____；
（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；
（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值。

答案

解：（1）OB=3，OC=8；
（2）连接OD，交OC于点E，
∵四边形OACD是菱形
∴AD⊥OC，OE=EC=×8=4
∴BE=4-3=1
又∵∠BAC=90°，
∴△ACE∽△BAE，
∴，
∴AE²=BE·CE=1×4，
∴AE=2，
∴点A的坐标为（4，2），
把点A的坐标（4，2）代入抛物线y=mx²-11mx+24m，得m=-，
∴抛物线的解析式为y=-x²+x-12；
（3）∵直线x=n与抛物线交于点M，
∴点M的坐标为（n，-n²+n-12），
由（2）知，点D的坐标为（4，-2），
则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y=x-4，
∴点N的坐标为（n，n-4），
∴MN=（-n²+n-12）-（n-4）=-n²+5n-8，
∴S_{四边形AMCN}=S_△AMN+S_△CMN=MN·CE=（-n²+5n-8）×4 =-（n-5）²+9，
∴当n=5时，S_{四边形AMCN}=9。