如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线的顶点P到x轴的距离是4,抛物线与x轴相交于O、M两点,OM=4,矩形ABCD的边BC在线段的OM上,点A、D在抛物线上。(
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如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线的顶点P到x轴的距离是4,抛物线与x轴相交于O、M两点,OM=4,矩形ABCD的边BC在线段的OM上,点A、D在抛物线上。(
题型:上海期中题
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如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线的顶点P到x轴的距离是4,抛物线与x轴相交于O、M两点,OM=4,矩形ABCD的边BC在线段的OM上,点A、D在抛物线上。
(1)请写出P、M两点坐标,并求这条抛物线的解析式;
(2)设矩形ABCD的周长为L,求L的最大值;
(3)连结OP、PM,则△PMO为等腰三角形,请判断在抛物线上是否还存在点Q(除点M外),使得△OPQ也是等腰三角形,简要说明你的理由。
答案
解:(1)点P坐标为(2,4),点M坐标为(4,0),
设:抛物线的解析式为
,
则:
得:a=-1
∴y=-x
2
+4x;
(2)设A点的坐标是(x,y),其中0<x<4,
则AD=BC=2(x-2)(x≠2,否则A、D两点重合),AB=CD=y,
矩形的周长为1=2(AB+AD)=2(y+2x-4)=-2(x-3)
2
+10,
∵0<3<4,
∴当x=3时,矩形的周长1的最大值是10;
(3)存在,
理由:作OP的中垂线一定能与抛物线相交,或以O点为圆心,以OP为半径画弧也能与抛物线相交。
举一反三
某市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高,房子的价格y(元/平方米)随楼层数x(楼)的变化而变化(x=1,2,3,4,5,6,7,8);已知点(x,y)都在一个二次函数的图像上(如图所示),则6楼房子的价格为( )元/平方米。
题型:期中题
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写出一个顶点在第二象限的二次函数的表达式:y=( )。
题型:福建省模拟题
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如图,直线l
1
分别交x轴、y轴于A、B两点,且AO=8,BO=8
,与直线y=
x交于点C,平行于y轴的直线l
2
从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移,到C点时停止;l
2
分别交线段BC、OC、x轴于点D、E、P,以DE为边向左侧作等边△DEF,设直线l
2
的运动时间为t(秒)。
(1)直接写出直线l
1
的解析式;
(2)以D、E、O、F为顶点的多边形能否为梯形,若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由;
(3)设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S(平方单位),试探究:S与t的函数关系式。
题型:福建省模拟题
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如图,直线y=-x+3与x轴,y轴分别相交于点B,点C,经过B,C两点的抛物线y=ax
2
+bx+c与x轴的另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线x=2。
(1)求点A的坐标;
(2)求该抛物线的函数表达式;
(3)连结AC,请问在x轴上是否存在点Q,使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
题型:广东省模拟题
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如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O为原点,E为AB上一点,把△CBE沿CE折叠,使点B恰好落在边上的点D处,点A、D的坐标分别为(5,0)和(3,0)。
(1)求点C的坐标;
(2)求DE所在直线的解析式;
(3)设过点C的抛物线
(b<0)与直线BC的另一个交点为M,问在该抛物线上是否存在点G,使得△CMG为等边三角形,若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由。
题型:广东省模拟题
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