如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2。（1）求

题型：广东省模拟题难度：来源：

如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2。
（1）求点A的坐标；
（2）求该抛物线的函数表达式；
（3）连结AC，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）解依题意得，解之得，
∴A（6，-3），B（-4，2）；（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C，D两点，交AB于M（如图）
由（1）可知：OA=3，OB=2，
∴AB=5，
∴OM=AB-OB=，
过B作BE⊥x轴，E为垂足，
由△BEO∽△OCM，得：，
∴OC=，
同理：OD=，
∴C（，0），D（0，），
设CD的解析式为y=kx+b（k≠0）
∴，∴
∴AB的垂直平分线的解析式为y=2x-；（3）若存在点P使△APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线上，并设该直线与x轴，y轴交于G，H两点（如图）
∴，∴，
∵抛物线与直线只有一个交点，
∴，
∴m=，∴P（1，）
在直线GH：中，
∴，
∴GH=，
设O到GH的距离为d，
∴，
∴，
∴d=，
∵AB∥GH，
∴P到AB的距离等于O到GH的距离d，
∴。