在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x+c经过直线y=2x+4与坐标轴的两个交点B、C,它与x轴的另一个交点为A,点N是抛物线对称轴与x轴的交点,点M为线段A

在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x+c经过直线y=2x+4与坐标轴的两个交点B、C,它与x轴的另一个交点为A,点N是抛物线对称轴与x轴的交点,点M为线段A

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在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x+c经过直线y=2x+4与坐标轴的两个交点B、C,它与x轴的另一个交点为A,点N是抛物线对称轴与x轴的交点,点M为线段AB上的动点。
(1)求抛物线的解析式及点A的坐标;
(2)如图(1),若过动点M的直线ME∥BC交抛物线对称轴于点E,试问抛物线上是否存在点F,使得以点M,N,E,F为顶点组成的四边形是平行四边形,若存在,求出点F的坐标;若不存在,说明理由;
(3)如图(2),若过动点M的直线MD∥AC交直线BC于点D,连接CM,当△CDM的面积最大时,求点M的坐标。
答案
解:(1)∵直线y=2x+4与坐标轴交点B、C的坐标分别是(-2,0)、(0,4) ,

解得a=-,c=4,
∴抛物线解析式y=-x2+x+4,
∴抛物线与x轴的另一个交点A的坐标是(4,0);
(2)由(1)可知,点N坐标为(1,0),设点M(m,0),
∵直线ME∥BC,
∴直线M的解析式为y=2(x-m)=2x-2m,
将x=1代入上式,得y=2-2m,
∴E(1,2-2m)
假设存在点F,使得以点M,N,E,F为顶点组成的四边形是平行四边形,

 ∴F(2-m,2-2m)或F(m,2-2m),
∵F点在抛物线上,
∴2-2m=-(2-m)2+2-m+4或2-2m=-m2+m+4,
整理,得m2-6m-4=0,
解之,得m
∵点M为线段AB上的动点,
∴-2<m<4;

(3)如图DE⊥x轴于点E,设 M(x,0),则BM=x+2,
∵DM∥CA,
∴△DM∽△BCA,

即DE=(x+2)=x+
S△CDM=S△BCM-S△BDM
=BM·CO-BM·DE
=(x+2)×4-(x+2)(x+
=-(x-1)2+3
∵点M为线段AB上的动点,
∴-2<x<4,
∴当x=1时,S最大值=3,此时M(1,0)。
举一反三
将抛物线y=x2的图象向右平移3个单位长度,则平移后的抛物线的解析式为(    )。
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已知抛物线经过点A(0,4)、B(1,4)、C(3,2),与x轴正半轴交于点D。
(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)在x轴上求一点E,使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形;
(3)在(2)的条件下,过线段ED上动点P作直线PF∥BC,与BE、CE分别交于点F、G,将△EFG沿FG翻折得到△E"FG,设P(x,0),△E"FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S,求S与x的函数关系式及自变量算的取值范围。
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已知二次函数y=ax2+4ax+4a-1的图象是C1
(1)求C1关于点R(1,0)中心对称的图象C2的函数解析式;
(2)在(1)的条件下,设抛物线C1、C2与y轴的交点分别为A、B,当AB=18 时,求a的值。
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已知:关于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0。
(1)求证:m取任何实数时,方程总有实数根;
(2)若二次函数y1=mx2-3(m-1)x+2m-3的图象关于y轴对称,
①求二次函数y的解析式;
②已知一次函数y2=2x-2,证明:在实数范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立;
(3)在(2)条件下,若二次函数y3=ax2+bx+c的图象经过点(-5,0),且在实数范围内,对于x的同一个值,这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2 均成立,求二次函数y3=ax2+bx+c的解析式。
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长方形的周长是18,它的面积S与其一边长a的函数关系式是(    ),其中自变量a的取值范围是(    )。
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