已知抛物线经过点A（0，4）、B（1，4）、C（3，2），与x轴正半轴交于点D。（1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；（2）在x轴上求一点E，使得△BCE是以B

题型：北京模拟题难度：来源：

已知抛物线经过点A（0，4）、B（1，4）、C（3，2），与x轴正半轴交于点D。
（1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）在x轴上求一点E，使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；
（3）在（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF∥BC，与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E"FG，设P（x，0），△E"FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量算的取值范围。

答案

解：（1）依题意，设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+4，则，
解得 a=-，b=
∴所求抛物线的解析式为y=-x²+x+4，
由，解得，，∴D（4，0）；（2）如图（1），过点C作CN⊥x轴于N，过点E、B分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点M
则∠M=∠CNE=90°，
设E（a，0），EB=EC，
∴BM²+EM²=CN²+EN²，
∴（1-a）²+（4-0）²=（2-0）²+（3-a）²，
解得a=-1，
∴E（-1，0）；（3）可求得直线BC的解析式为y=-x+5，
从而直线BC与x轴的交点为H（5，0），如图（2），
根据轴对称性可知S_△E"FG=S_△EFG，当E"点在BC上时，点F是BE的中点，
∵FG∥BC，∴△EFP∽△EBH，可证EP=PH，
∵E（-1，0），H（5，0），∴P（2，0），
（i）如图（3），分别过点B、C作BK⊥ED于K，CJ⊥ED于J，
则S_△BCE=S_△BEF-S_△CEH=1/2EH·（BK-CJ）=6，
当-1<x≤2时，
∵PF∥BC，∴△EGP∽△ECH，△EFG∽△EBC

∵P（x，0），E（-1，0），H（5，0），
∴EP=x+1，EH=6，
∴S=S_△E"FG=S_△EFG=；
（ⅱ）如图（4），
当2<x≤4时，在x轴上截取一点Q，使得PQ=HP，过点Q作QM∥FG，分别交EB，EC于M，N，可证S=S_{四边形MNGF}，△ENQ∽△ECH，△EMN∽△EBC，
，
∵P（x，0），E（-1，0），H（5，0），
∴EH=6，PQ=PH=5-x，EP=x+1，EQ=6-2（5-x）=2x-4，
∴S_△EMN=，
同（i）可得S_△EFG=，
∴S=S_△EFG-S_△EMN=-，
综上：。