如图，正方形ABCO的边长为2，点F为x轴上一点，CF=1，过点B作BF的垂线，交y轴于点E。（l）求过点E、B、F的抛物线的解析式；（2）将∠EBF绕点B顺时

题型：北京模拟题难度：来源：

如图，正方形ABCO的边长为2，点F为x轴上一点，CF=1，过点B作BF的垂线，交y轴于点E。
（l）求过点E、B、F的抛物线的解析式；
（2）将∠EBF绕点B顺时针旋转，角的一边交y轴正半轴于点M，另一边交x轴于点N，设BM与（1）中抛物线的另一个交点为点G，且点G的横坐标为，EM与NO有怎样的数量关系？请说明你的结论；
（3）点P在（1）中的抛物线上，且PE与y轴所成锐角的正切值为，求点P的坐标。

答案

解：（1）由题意，可得点B（2，2）
∵CF=1，∴F（3，0），
在正方形ABCD中，∠ABC=∠OAB=∠BCF=90°，AB=AC，
∵BE⊥BF，
∴∠EBF=90°，
∴∠EBF=∠ABC，
∴∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBF，
∴∠ABE=∠CBF
∴△ABE≌△CBF
∴AE=CF，
∴E（0，1），
设过点E、B、F的抛物线的解析式为y=ax²+bx+1
∴，∴，
∴抛物线的解析式为；

（2）∵点G（，y）在抛物线上，
∴，
∴，
设过点B、G的直线解析式为y=kx+b，
∴，∴，
∴过点B、G的直线解析式为y=-x+3
∴直线y=-+3与y轴交于点M（0，3）
∴EM=2，
可证△ABM≌△CBN，
∴CN=AM
∴N（1，0），
∴ON=1，
∴EM=2ON；（3）∵点P在抛物线y=-x²+x+1上，可设点P坐标为，
如图①过点P₁，作P₁H₁⊥y轴于点H₁，连接P₁E
∴tan∠H₁EP₁=，∴
即，
解得m₁=，m₂=0（不合题意，舍去）；
②点P₂作P₂H₂⊥y轴于点H₂，连接P₂E
∴tan∠H₂EP₂=，，
即，
解得m₃=，m₄=0（不合题意,舍去），
当m₁=时，-m²+m+1=；
当m₃=时，-m²+m+1=-；
综上所述，点P₁（，），P₂（，-）为所求。