已知抛物线y=x2-x-2。（1）求抛物线顶点M的坐标； （2）若抛物线与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过

题型：北京模拟题难度：来源：

已知抛物线y=x²-x-2。
（1）求抛物线顶点M的坐标；
（2）若抛物线与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过点，N作x轴的垂线，垂足为点Q，当点N在线段BM上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵抛物线y=（x-）²-，
∴顶点M的坐标为（，-）；
（2）抛物线y=x²-x-2与x轴的两交点为 A（-1，0），B（2，0），
设线段BM所在直线的解析式为y=kx+b，
∴解得
∴线段BM所在直线的解析式为y=x-3，
设点N的坐标为（x，-t），
∵点N在线段BM上，
∴-t=x-3，
∴x=-t+2，
∴S_{四边形NQAC}=S_△AOC+S_梯形OQNC=×1×2+（2+t）（-t+2）=-t²+t+3；
∴S与t之间的函数关系式为S=-t²+t+3，自变量t的取值范围为0＜x<；
（3）假设存在符合条件的点P，设点P的坐标为P（m，n），则m>，且n=m²-m-2，
 PA²=（m+1）²+n²，PC²=m²+（n+2）²，AC²=5，分以下几种情况讨论：
①若∠PAC=90°，则PC²=PA²+AC²
∴n=m²-m-2，m²+（n+2）²=（m+1）²+n²+5，
解得m₁=，m₂=-1，
∵m<，∴m=，
∴P₁（，），
②若∠PCA=90°，则PA²=PC²+AC²
∴n=m²-m-2，（m+1）²+n²=m²+（n+2）²+5，
解得m₃=，m₄=0，
∵m>
∴m=
∴P₂（，-），
当点P在对称轴右侧时，PA>AC，所以边AC的对角∠APC不可能是直角，
∴存在符合条件的点P，且坐标为（，），（，-）。