如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2，m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D

题型：海南省中考真题难度：来源：

如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2，m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；
（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PE，若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

答案

（1）∵ 点B(-2，m)在直线y=-2x-1上，
∴ m=-2×(-2)-1=3.
∴ B(-2，3)
∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，
∴ 点A的坐标为(4，0) .
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4).
将点B(-2，3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，
∴ .
∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为，即；
（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0，-1) E(2，-5).
过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，
则BG⊥直线x=2，BG=4.
在Rt△BGC中，BC=
∵ CE=5，
∴ CB=CE=5
②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，则点H的坐标为H(0，-5).
又点F、D的坐标为F(0，3)、D(0，-1)，
∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.
∴ △DFB≌△DHE （SAS），
∴ BD=DE. 即D是BE的中点. ；
（3） 存在.
由于PB=PE，∴ 点P在直线CD上，
∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.
将D(0，-1) C(2，0)代入，得.
解得 . ∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x-1.
∵ 动点P的坐标为(x，)，

解得
∴ 符合条件的点P的坐标为