已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2.(1)求q关于p的关系式;(2)求证:抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点;(3)设抛物线y=x2+px+

已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2.(1)求q关于p的关系式;(2)求证:抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点;(3)设抛物线y=x2+px+

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已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2.
(1)求q关于p的关系式;
(2)求证:抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点;
(3)设抛物线y=x2+px+q的顶点为M,且与x轴相交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,求使△AMB面积最小时的抛物线的解析式.
答案
(1)把x=2代入得22+2p+q+1=0,即q=-(2p+5);

(2)证明:∵一元二次方程x2+px+q=0的判别式△=p2-4q>0,
由(1)得△=p2+4(2p+5)=p2+8p+20=(p+4)2+4>0,(3分)
∴一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实根.(4分)
∴抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点;(5分)

(3)抛物线顶点的坐标为M(-
p
2
4q-p2
4
)
,(6分)
∵x1,x2是方程x2+px+q=0的两个根,





x1+x2=-p
x1x2=q

|AB|=|x1-x2|=


(x1+x2)2-4x1x2
=


p2-4q
.(7分)
S△AMB=
1
2
|AB|•|
4q-p2
4
|=
1
8
(p2-4q)


p2-4q
,(8分)
要使S△AMB最小,只须使p2-4q最小.
由(2)得△=p2-4q=(p+4)2+4,
所以当p=-4时,有最小值4,此时S△AMB=1,q=3.(9分)
故抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(10分)
举一反三
已知:抛物线y=-x2-2(m-1)x+m+1与x轴交于a(-1,0),b(3,0),则m为______.
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是否存在这样的实数k,使得二次方程x2+(2k-1)x-(3k+2)=0有两个实数根,且两根都在2与4之间?如果有,试确定k的取值范围;如果没有,试述理由.
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如图,二次函数y=-
1
4
x2+4
的图象在x轴上方的一部分,对于这段图象与x轴所围成的阴影部分的面积,你认为与其最接近的值是(  )
A.16B.
64
3
C.8πD.32

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二次函数y=ax2+bx的图象如图,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为(  )
A.-3B.3C.-6D.9

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设A和B为抛物线y=-3x2-2x+k与x轴的两个相异交点,M为抛物线的顶点,若△ABM为Rt△,求k的值.
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