若抛物线y=x2-(k-1)x-k-1与x轴的交点为A、B,顶点为C,则△ABC的面积最小值为______.

若抛物线y=x2-(k-1)x-k-1与x轴的交点为A、B,顶点为C,则△ABC的面积最小值为______.

题型:不详难度:来源:
若抛物线y=x2-(k-1)x-k-1与x轴的交点为A、B,顶点为C,则△ABC的面积最小值为______.
答案
∵|x1-x2|=


(x1+x2)2-4x1x2
=


(k-1)2-4(-k-1)
=


k2+2k+5

抛物线顶点纵坐标为:
4(-k-1)-(k-1)2
4

整理得,-
k2+2k+5
4

由于抛物线开口向上,
故三角形的高为
k2+2k+5
4

S△ABC=
1
2


k2+2k+5
k2+2k+5
4
=
1
8


(k2+2k+5)3
=
1
8


[(k+1)2+4]3

当k=-1时,S△ABC取得最小值,为1.
故答案为1.
举一反三
已知:关于x的二次函数y=-x2+(m+2)x-m.
(1)求证:不论m为任何实数,二次函数的图象的顶点P总是在x轴的上方;
(2)设二次函数图象与y轴交于A,过点A作x轴的平行线与图象交于另外一点B.若顶点P在第一象限,当m为何值时,△PAB是等边三角形.
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两抛物线y=x2+2ax+b2和y=x2+2cx-b2与x轴交于同一点(非原点),且a、b、c是正数,a≠c,试判断以a、b、c为边的三角形的形状.
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二次函数y=-(x+1)(x-2)的图象在x轴上截得的线段的长为______.
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二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是a______0,b2-4ac______0.
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若二次函数y=ax2+2x-c(c为整数)的图象与x轴没有交点,则c的最大值是______.
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