已知点D为等腰△ABC的底边BC的中点，P为AB线段内部的任意一点，设BP的垂直平分线与直线AD交于点E，PC与AD交于点F．求证：直线EP是△APF的外接圆的

题型：不详难度：来源：

已知点D为等腰△ABC的底边BC的中点，P为AB线段内部的任意一点，设BP的垂直平分线与直线AD交于点E，PC与AD交于点F．求证：直线EP是△APF的外接圆的切线．

答案

证明：∵EG垂直平分BP，
∴EP=BE，
∵AD是等腰三角形ABC底边上的高，
∴AD垂直平分BC，
∴BE=EC，
∴以E为圆心、EB为半径作圆E，则点P、C都在该圆的圆周上，
∴在Rt△ABD中，∠PAE=∠BAE=90°-∠ABC=90°-

1

2

∠PEC=∠EPC，
∵在等腰三角形EPC中，∠EPC=90°-

1

2

∠PEC，
∴∠PAE=∠EPC，
∴EP是△APF的外接圆的切线．