证明:(1)在等腰Rt△BCD中,BD=CD, ∵∠BDC=90°, ∴∠BDC=∠ADC=90°, ∵在△FBD和△ACD中, , ∴△FBD≌△ACD(SAS);
(2)∵△FBD≌△ACD, ∴∠DBF=∠DCA, ∵∠ADC=90°, ∴∠DAC+∠A=90°, ∴∠DBF+∠A=90°, ∴∠AEB=180°-(∠DBF+∠A)=90°, ∵BF平分∠DBC, ∴∠ABF=∠CBF, ∵在△ABE和△CBE中,
| ∠AEB=∠CEB=90° | BE=BE | ∠ABF=∠CBF |
| | , ∴△ABE≌△CBE(ASA), ∴AB=CB, ∴△ABC是等腰三角形;
(3)∵△FBD≌△ACD, ∴BF=AC, ∵△ABE≌△CBE, ∴AE=CE=AC, ∴CE=BF;
(4)连接CG,∵在等腰Rt△BCD中,H是BC边的中点, ∴DH垂直平分BC, ∴BG=CG, ∴∠GBC=∠GCB, ∴∠EGC=∠GBC+∠GCB=2∠GBC=45°, ∴△EGC是等腰直角三角形, ∴CG=GE, 即BG=CE, ∴BG:GE=. |