已知，如图：正方形ABCD，AC是对角线，点P是AC上一点，连接PB，以PB为腰作等腰直角三角形△PBE，PE与直线AB相交于点F，连接PD，设AP=nPC．（

题型：不详难度：来源：

已知，如图：正方形ABCD，AC是对角线，点P是AC上一点，连接PB，以PB为腰

作等腰直角三角形△PBE，PE与直线AB相交于点F，连接PD，设AP=nPC．
（1）如图1直接写出：

PD

PE

=______
（2）如图1当n=2时，求

PF

PE

的值．
（3）如图2：当点P在AC延长线上，其它条件均不变，当n=______时，PE=5EF．

答案

（1）

2

2

；

（2）∵正方形ABCD，AC为其对角线，
∴FAP=∠BCP=45°，
∵等腰Rt△EBP，
∴∠E=∠BPF=∠PAF，
∵∠EFB=∠AFP，
∴∠EBF=∠PBC，
∵∠EBP=∠ABC=90°，
∴∠EBF=∠PBC，
∴△PFA∽△BPC，△EBP∽△ABC，
∴AP：BC=PF：BP，EP：AC=BP：BC，
∴BP：BC=PF：AP，
∴EP：AC=PF：AP，即PF：PE=AP：AC，
∵n=2，
∴AP=2PC，
∴AP：AC=2：3，
∴PF：PE=AP：AC=2：3；

（3）∵正方形ABCD，AC为其对角线，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵等腰直角三角形EBP，
∴∠BEP=∠BPE=45°，
∴△EBP∽△ABC，
∴EP：AC=BP：BC，
∴∠FBE=∠FPA，
∵∠ABC=∠EBP=90°，
∴∠FBE=∠PBC，
∴∠PBC=∠FPA，
∴△PBC∽△FPA，
∴AP：BC=PF：BP，
∴BP：BC=PF：AP，
∵BP：BC=PE：AC，
∴PF：AP=PE：AC，即PE：PF=AC：AP，
∵PE=5EF，
∴PE：PF=5：6，
∴AC：AP=5：6，
∴AP：PC=6：1，
∵AP=nPC，
∴n=6，
∴当n=6时，PE=5EF．
故答案为

2

2

，6．