阅读:定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,如图,Rt△ABC中,D为AB中点,则CD=AD=BD=12AB.(此定理在解决下面的问题中要用到)应用:如
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阅读:定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,如图,Rt△ABC中,D为AB中点,则CD=AD=BD=12AB.(此定理在解决下面的问题中要用到)应用:如
题型:不详
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阅读:定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,如图,Rt△ABC中,D为AB中点,则CD=AD=BD=
1
2
AB
.(此定理在解决下面的问题中要用到)
应用:如图1,在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若B、P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,连接PM、PN;
(1)延长MP交CN于点E(如图2).①求证:△BPM≌△CPE;②求证:PM=PN;
(2)若直线a绕点A旋转到图3的位置时,点B、P在直线a的同侧,其它条件不变,此时PM=PN还成立吗?若成立,请给予证明:若不成立,请说明理由;
(3)若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时,其它条件不变,请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗?不必说明理由.
答案
(1)①证明:∵BM⊥直线a,CN⊥直线a,
∴∠BMN=∠CNM=90°,
∴BM
∥
CN,
∴∠MBP=∠PCE,
∵点P为BC边中点,
∴BP=PC,
在△BPM和△CPE中,
∠MBP=∠PCE
BP=PC
∠BPM=∠CPE
,
∴△BPM≌△CPE(ASA);
②∵△BPM≌△CPE,
∴MP=PE,
∵∠MNE=90°,
∴PN=PM;
(2)PM=PN还成立.
理由如下:如图3,延长MP与NC延长线交于F,
∵BM⊥直线a,CN⊥直线a,
∴BM
∥
FN,
∴∠BMP=∠PFC,
∵点P为BC边中点,
∴BP=PC,
在△BMP和△CFP中,
∠BMP=∠PFC
BP=PC
∠BPM=∠CPF
,
∴△BMP≌△CFP(ASA),
∴PM=PF,
∵∠MNF=90°,
∴PM=PN;
(3)四边形MBCN是矩形,PM=PN还成立.
理由如下:如图4,∵a
∥
BC,BM⊥a,CN⊥a,
∴BM
∥
CN,BM=CN,
∴四边形MBCN是矩形,
∵点P是BC的中点,
∴BP=CP,
在△BMP和△CMN中,
BM=CN
∠PBM=∠PCN=90°
BP=CP
,
∴△BMP≌△CPN(SAS),
∴PM=PN.
举一反三
已知Rt△ABC中,∠C=90°,且BC=
1
2
AB,则∠A等于( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.不能确定
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下列命题中真命题是( )
A.如果两个直角三角形的两条边相等,那么这两个直角三角形全等
B.如果两个直角三角形的一条边和一个锐角对应相等,那么这两个直角三角形全等
C.如果两个直角三角形的两个角对应相等,那么这两个直角三角形全等
D.如果两个直角三角形的一条直角边和斜边对应相等,那么这两个直角三角形全等
题型:不详
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下列说法中,正确的个数是( )
①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等;
②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等;
③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等;
④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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如图所示,在四边形ABCD中,CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAC=35°,则∠BCD的度数为______度.
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如图,∠A=∠B=90°,E是AB上的一点,且AE=BC,∠1=∠2.
(1)Rt△ADE与Rt△BEC全等吗?并说明理由;
(2)△CDE是不是直角三角形?并说明理由.
题型:不详
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