在等腰直角△ABC中,∠C=90°,AC=BC,D是AB上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD延长线于F,CH⊥AB于H,交AE于G.求证:(1)BD=CG

在等腰直角△ABC中,∠C=90°,AC=BC,D是AB上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD延长线于F,CH⊥AB于H,交AE于G.求证:(1)BD=CG

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在等腰直角△ABC中,∠C=90°,AC=BC,D是AB上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD延长线于F,CH⊥AB于H,交AE于G.求证:(1)BD=CG;(2)DF=GE.魔方格
答案
证明:根据题意∠AEC=∠CFB=90°,
∴∠CAE+∠ACE=90°,∠BCF+∠ACE=90°.
∴∠CAE=∠BCF.
在△ACE与△BCF中,





∠AEC=∠CFB
∠CAE=∠BCF
AC=BC

∴△ACE≌△BCF.
∴BF=CE.
∵∠BDF+∠DBF=90°,∠CGE+∠GCE=90°,∠GCE+∠HDC=90°,∠BDF=∠ADC(对顶角相等),
∴∠CGE=∠BDF.
在△CEG与△BFD中,





∠CGE=∠BDF
∠CEG=∠BFD
CE=BF

∴△CEG≌△BFD(AAS).
BD=CG,DF=GE.
举一反三
如图,∠AOP=∠BOP=15°,PCOA交OB于C,PD⊥OA于D,若PC=3,则PD等于(  )
A.3B.2C.1.5D.1
魔方格
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如图1,在△ABC,∠A=45°,延长CB至D,使得BD=BC.
(1)若∠ACB=90°,求证:BD=AC;
(2)如图2,分别过点D和点C作AB所在直线的垂线,垂足分别为E、F,求证:DE=CF.

魔方格
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如图1,已知Rt△ABC中,AB=BC,AC=2,把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),点C在DE上点B在DF上.
(1)求重叠部分△BCD的面积;
(2)如图2,将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30度,DE交BC于点M,DF交AB于点N,①请说明DM=DN;②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗?若发生变化,请求出重叠部分的面积,若不发生变化,请说明理由;
(3)如图3,将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转α度(0<α<90),DE交BC于点M,DF交AB于点N,则DM=DN的结论仍成立吗?重叠部分△DMN的面积会变吗?(请直接写出结论不需说明理由)

魔方格
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在下列条件中不能判断两个直角三角形全等的是(  )
A.已知两个锐角
B.已知一条直角边和一个锐角
C.已知两条直角边
D.已知一条直角边和斜边
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如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB,垂足是E,D是AB的中点,如果AB=10,∠B=30°,那么DE=______.魔方格
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